Beta-Verteilung: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 23. April 2018, 14:20 Uhr

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Definition

Eine stetige Zufallsgröße $X = \Beta V(\alpha,\beta,a,b)\;$ heißt beta-verteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

$f_X(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) := \begin{cases} \frac{(x-a)^{\alpha -1}\cdot (b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases}$

beschrieben werden kann. $\Beta(\alpha,\beta)$ ist dabei die Beta-Funktion.

$\alpha,\,\beta,\,a$ und $$ b $$ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.

Eigenschaften einer beta-verteilten Zufallsgröße

Parameter (vgl. Parameter der standardisierten Beta-Verteilung )	$\alpha \in ]0,\infty[$ $\beta \in ]0,\infty[$ $a \in ]-\infty,\infty[$ $b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a$ $$ d := b-a > 0 $$
Dichtefunktion	$f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) = \begin{cases} \frac{{(x-a)}^{\alpha -1}\cdot {(b-x)}^{\beta-1}}{{\Beta(\alpha,\beta)}\cdot d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases}$
Stetigkeit	$f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[$
Träger	$f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[$
Verteilungsfunktion	$F_X(x) =\int_{-\infty}^x \! f_X(t) \, \mathrm{d} t$ ist nicht elementar darstellbar
Modus	$c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta-2}$ $\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta \ge 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1$
Erwartungswert	$\mu(X) = \frac{b\alpha+ a\beta}{\alpha+\beta}$
Varianz	$\operatorname{Var}(X) = \frac{d^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$
Standardabweichung	$\sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)} \sqrt{{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}}}$

Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung

In Beta-Verteilung (standardisiert) wird eine speziellere Dichtefunktion $f_{\Beta V(\alpha,\beta)}$ definiert. Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer standardisierten Beta-Verteilungen auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Beta-Verteilungen ist:

f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,0,1)}(x) \!

Umgekehrt können alle Dichtefunktionen allgemeinen Beta-Verteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der standardisierten Beta-Verteilungen erzeugt werden:

f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = \frac{1}{d}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)

Und damit gilt auch die Beziehung:

F_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) = F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)

(Beweis der zweiten Aussage)

Quellen

Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
WikipediaEn: Beta distribution
Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung

Siehe auch

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-=Definition=
+{{Qualität
+|correctness         = 5
+|extent              = 3
+|numberOfReferences  = 4
+|qualityOfReferences = 5
+|conformance         = 4
+}}
+==Definition==
-Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X</math> heißt '''beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
+Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X = \Beta V(\alpha,\beta,a,b)\;</math> heißt '''beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
 die [[Dichtefunktion]]
-<math>f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x)=
+<div class="formula">
+<math>f_X(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) :=
          \begin{cases}
-           \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\
+           \frac{(x-a)^{\alpha -1}\cdot (b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\
                           & \mbox{sonst }
          \end{cases}
 </math>
+</div>
+beschrieben werden kann. <math>\Beta(\alpha,\beta)</math> ist dabei die [[Beta-Funktion]].
-beschrieben werden kann. <math>\Beta(\alpha,\beta)\!</math> ist dabei die [[Beta-Funktion]].
+<math>\alpha,\,\beta,\,a</math> und  <math>b</math> heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.
-<math>\alpha\,\beta,\,a</math> und  <math>b\,</math> heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.
-=Eigenschaften einer beta-verteilten Zufallsgröße=
+==Eigenschaften einer beta-verteilten Zufallsgröße==
 {{Wahrscheinlichkeitsverteilung |
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    cdf_image  =|
-   parameters =<math>\alpha \in ]0,\infty[</math><br><math>\beta \in ]0,\infty[</math><br><math>a \in ]-\infty,\infty[</math><br><math>b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a</math><br><br><math>d := b-a\!</math>|
+   parameters =<math>\alpha \in ]0,\infty[</math><br><math>\beta \in ]0,\infty[</math><br><math>a \in ]-\infty,\infty[</math><br><math>b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a</math><br><br><math>d := b-a > 0</math>|
-   proof_parameters =(vgl. Parameter der <br>[[Dreiecksverteilung]])|
+   annotations_parameters =(vgl. Parameter der <br>[[Beta-Verteilung (standardisiert)|standardisierten<br/> Beta-Verteilung]] )|
    pdf        =<math>
                  f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) =
                    \begin{cases}
-                     \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\
+                     \frac{{(x-a)}^{\alpha -1}\cdot {(b-x)}^{\beta-1}}{{\Beta(\alpha,\beta)}\cdot d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\
                           & \mbox{sonst }
                    \end{cases}
                </math>|
-  proof_pdf =|
-   continuity = <math>f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\!</math>|
+   continuity = <math>f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[</math>|
-   proof_continuity =|
+   support    = <math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ </math>|
-   support    =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \!</math>|
+   cdf        =<math>F_X(x) =\int_{-\infty}^x \! f_X(t) \, \mathrm{d} t</math> ist nicht elementar darstellbar|
-  proof_support =|
-  cdf        =|
-  proof_cdf =|
-   mode       =<math>c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta-2}</math><br>
+   mode       = <math>c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta-2}</math><br>
-<math>\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta \ge 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1\!</math>|
+<math>\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta \ge 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1</math>|
-  proof_mode =|
-   mean       =<math>\mu(X) = \frac{b\alpha+ a\beta}{\alpha+\beta}</math>|
+   mean       = <math>\mu(X) = \frac{b\alpha+ a\beta}{\alpha+\beta}</math>|
-  proof_mean =|
    quartile   =|
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-   median       =|
+   median     =|
-  proof_median =|
    variance   =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{d^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math>|
-  proof_variance =|
-   sigma      =<math>\sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)}\sqrt{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}}</math>|
+   sigma      =<math>\sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)} \sqrt{{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}}}</math>|
-  proof_sigma =|
+}}
-  skewness       =|
+==Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung==
-  proof_skewness =|
-  kurtosis       =|
+In [[Beta-Verteilung (standardisiert)]] wird eine speziellere Dichtefunktion <math>f_{\Beta V(\alpha,\beta)}</math> definiert.
-  proof_kurtosis =|
+Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?
-  entropy       =|
+Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung (standardisiert)|standardisierten Beta-Verteilungen]]
-  proof_entropy =|
+auch eine Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung|allgemeinen Beta-Verteilungen]] ist:
-  moment       =|
+<div class="formula"><math>f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,0,1)}(x) \!</math></div>
-  proof_moment =|
-  centralmoment       =|
+Umgekehrt können alle
-  proof_centralmoment =|
+Dichtefunktionen [[Beta-Verteilung|allgemeinen Beta-Verteilungen]] durch [[Linear-Transformation]]en aus entsprechenden
+Dichtefunktionen der [[Beta-Verteilung (standardisiert)|standardisierten Beta-Verteilungen]] erzeugt werden:
-   mgf       =|
+<div class="formula">
-   proof_mgf =|
+<math>  f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)
+   = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
+   = \frac{1}{d}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)
+</math></div>
-  char       =|
+Und damit gilt auch die Beziehung:
-  proof_char =|
-}}
-Die Dichtefunktionen der hier definierten allgemeinen Beta-Verteilungen, können durch einfache Linear-Transformationen aus den
+<div class="formula">
-Dichtefunktionen der [[Beta-Verteilung (normalisiert)|normalisierten Beta-Verteilungen]] erzeugt werden:
+<math>  F_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)
+    = F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
+    = F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)
+</math></div>
-<math>f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{X,alpha,\beta,0,1}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
+([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]])
-                                = \frac{1}{d}\cdot f_{X,alpha,\beta,0,1}\left(\frac{x-a}{d}\right)
-</math>
- '''Beweis'''<br>
+==Quellen==
- <math>\mbox{Es sei } a \le x \le b{.}</math><br><br>
+#{{Quelle|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}
- <math>\mbox{Dann gilt: }\!</math><br>
+#{{Quelle|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}}
- <math> \frac{1}{b-a}\cdot f_{X,alpha,\beta,0,1}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) =</math><br>
+#[[WikipediaEn: Beta distribution]]
- <math> \frac{1}{b-a}\cdot \frac{\left(\frac{x-a}{b-a}-0\right)^{\alpha -1}(1-\frac{x-a}{b-a})^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)1^{\alpha+\beta-1}} =</math><br>
+#[http://statwiki.wiwi.hu-berlin.de/index.php/Beta-Verteilung Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung]
- <math> \frac{1}{b-a}\cdot \frac{\left(\frac{x-a}{b-a}\right)^{\alpha -1}\left(\frac{b-a-x+a}{b-a}\right)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)} =</math><br>
- <math> \frac{1}{b-a}\cdot \frac{\frac{(x-a)^{\alpha -1}}{(b-a)^{\alpha -1}}\frac{(b-x)^{\beta-1}}{(b-a)^{\beta-1}}}{\Beta(\alpha,\beta)} =</math><br>
- <math> \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)d^{\alpha+\beta-1}} =</math><br>
- <math> f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x)\!</math>
-=Quellen=
+==Siehe auch==
-*[http://www.uni-leipzig.de/wifa/emp/orschuhr/Lehre/SMFormeln.pdf Formelsammlung zur Vorlesung Standardmethoden des Operations Research, Roland Schuhr, 2005]
+# [http://www.brighton-webs.co.uk/distributions/beta.asp Brighton Webs Ltd.: Beta Distribution]
-*[http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution Wikipedia (en): Beta distribution]
+# {{Vgl|Dreiecksverteilung}}
-*[http://statwiki.wiwi.hu-berlin.de/index.php/Beta-Verteilung Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung]
+[[Kategorie:Mathematische Definition]]
 [[Kategorie:Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
 [[Kategorie:Projektmanagement]]
 [[en:Beta distribution]]

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