GlossarWiki:Objektsprache: Unterschied zwischen den Versionen
aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
Kowa (Diskussion | Beiträge) Keine Bearbeitungszusammenfassung |
Kowa (Diskussion | Beiträge) Keine Bearbeitungszusammenfassung |
||
| (9 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt) | |||
| Zeile 4: | Zeile 4: | ||
Der zweiwertigen Logik liegen in diesem Wiki die beiden Wahrheitswerte T für TRUE/„wahr“ und F für FALSE/„falsch“ zugrunde. | Der zweiwertigen Logik liegen in diesem Wiki die beiden Wahrheitswerte T für TRUE/„wahr“ und F für FALSE/„falsch“ zugrunde. | ||
== | Die Formeln der Objekt- un der Metaspache unterscheiden sich nicht. Falls es nötig sein sollte, zwischen | ||
beiden Sprachen zu unterscheiden, werden Ausdrücke und Formeln in Anlenhnung an Glubrecht et al. (1983)<ref>{{Quelle|Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983)}}</ref> in Klammern <math>\ulcorner</math> und <math>\urcorner</math> gesetzt. | |||
==Junktoren== | |||
Es gibt zwei nullstellige (konstante) [[Junktor]]en: | Es gibt zwei nullstellige (konstante), zwei einstellige und 10 zweistellige [[Junktor]]en: | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
| Zeile 12: | Zeile 14: | ||
! Namen !! Symbol !! style="border-left: 2px solid #000;" | Wahrheitswerte | ! Namen !! Symbol !! style="border-left: 2px solid #000;" | Wahrheitswerte | ||
|- style="border-bottom: 2px solid #000;" | |- style="border-bottom: 2px solid #000;" | ||
| '''[[Verum]]''' || | | '''[[Verum]]''' || <math>\top</math> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T | ||
|- | |- | ||
| '''[[Falsum]]''' || | | '''[[Falsum]]''' || <math>\bot</math> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F | ||
|} | |} | ||
<div style="clear:both"></div> | |||
= | |||
{| class="wikitable" style="float:left; margin-right:1em" | {| class="wikitable" style="float:left; margin-right:1em" | ||
|- | |- | ||
| Zeile 31: | Zeile 30: | ||
|- | |- | ||
|} | |} | ||
<div style="clear:both"></div> | <div style="clear:both"></div> | ||
{| class="wikitable" style="float:left; margin-right:1em" | {| class="wikitable" style="float:left; margin-right:1em" | ||
|- | |- | ||
! Namen !! Symbol<br/>(Präfix)!! Symbol<br/>(Infix) !! colspan="4" style="border-left: 2px solid #000;" | Wahrheitswerte | ! Namen !! Symbol<br/>(Präfix)!! Symbol<br/>(Infix) !! colspan="4" style="border-left: 2px solid #000;" | Wahrheitswerte | ||
|- style="border-bottom: 2px solid #000;" | |- style="border-bottom: 2px solid #000;" | ||
| | |||
| | | | ||
| | | | ||
| Zeile 76: | Zeile 71: | ||
|} | |} | ||
|- | |- | ||
| '''[[Konjunktion]]''' | | '''[[Sheffer-Strich]]''', '''[[NAND]]''' || <math>\mid(a, b)</math> || <math>a \mid b</math> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | T | ||
|- | |||
| '''[[Konjunktion]]''', '''[[AND]]''' || <math>\wedge(a, b)</math> || <math>a \wedge b</math> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | F | |||
|- | |||
| '''[[Disjunktion]]''', '''[[Adjunktion]]''', '''[[OR (Junktor)|OR]]''' || <math>\vee(a, b)</math> || <math>a \vee b</math> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | W || style="text-align:center" | W || style="text-align:center" | F | |||
|- | |||
| '''[[Peirce-Funktion]]''', '''[[NOR]]''' || <math>\overline\vee(a, b)</math> || <math>a \overline\vee b</math> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | T | |||
|- | |- | ||
| '''[[Subjunktion]]''', '''[[Implikation]]''' || <math>\rightarrow(a, b)</math> || <math>a \rightarrow b</math> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | T | | '''[[Subjunktion]]''', '''[[Implikation]]''' || <math>\rightarrow(a, b)</math> || <math>a \rightarrow b</math> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | T | ||
|- | |- | ||
| '''[[Postsektion]]''', '''Nur a''' || <math>\not\rightarrow(a, b)</math> || <math>a \not\rightarrow b</math> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | F | |||
|- | |||
| '''[[Konversion]]''' || <math>\leftarrow(a, b)</math> || <math>a \leftarrow b</math> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | T | | '''[[Konversion]]''' || <math>\leftarrow(a, b)</math> || <math>a \leftarrow b</math> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | T | ||
|- | |||
| '''[[Präsektion]]''', '''Nur b''' || <math>\not\leftarrow(a, b)</math> || <math>a \not\leftarrow b</math> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | F | |||
|- | |- | ||
| '''[[Bijunktion]]''' || <math>\leftrightarrow(a, b)</math> || <math>a \leftrightarrow b</math> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | T | | '''[[Bijunktion]]''' || <math>\leftrightarrow(a, b)</math> || <math>a \leftrightarrow b</math> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | T | ||
|- | |||
| '''[[Kontravalenz]]''', '''[[XOR]]''' || <math>\not\leftrightarrow(a, b)</math> || <math>a \not\leftrightarrow b</math> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | F | |||
|} | |||
<div style="clear:both"></div> | |||
Die zweistelligen Junktoren werden normalerweise in [[Infixnotation]] (<math>a \wedge b</math>) und nicht in [[Präfixnotation]] (<math>\wedge(a,b)</math>) geschrieben. | |||
Wenn dabei auf Klammern verzichtet wird, gilt die Rangfolge gemäß obiger Tabelle: <math>\wedge</math> bindet enger als <math>\vee</math> etc. Das heißt, | |||
$a \vee b \wedge c$ ist eine Abkürzung für $(a \vee (b \wedge c))$. | |||
Die Präfixnotation kann für mehr als zwei Elemente verallgemeinert werden: | |||
<div class="formula"><math>\wedge(a,b,c) := \wedge(\wedge(a,b), c)</math>, <math>\wedge(a,b,c,d) := \wedge(\wedge(\wedge(a,b), c),d)</math> etc.</div> | |||
Analog gilt dies auch für alle anderen zweistelligen Junktoren. | |||
Für die Konjunktion und die Disjunktion gibt es noch jeweils zwei weitere Abkürzungen: | |||
{| class="wikitable" | |||
|- | |- | ||
| <math>\wedge() := \top</math> | |||
|- | |- | ||
| | | <math>\wedge(a) := a</math> || d.h. <math>a = \wedge(a) = \wedge(\wedge(), a)</math>, <math>\wedge(a, b) =\wedge(\wedge(\wedge(), a), b)</math>, <math>\wedge(a, b, c) = \wedge(\wedge( \wedge(\wedge(), a), b), c)</math> etc. | ||
|- | |- | ||
| <math>\vee() := \bot</math> | |||
|- | |- | ||
| | | <math>\vee(a) := a</math> || d.h. <math>a = \vee(a) = \vee(\vee(), a)</math>, <math>\vee(a, b) =\vee(\vee(\vee(), a), b)</math>, <math>\vee(a, b. c) =\vee(\vee(\vee(\vee(), a), b), c)</math> etc. | ||
|} | |} | ||
==Quellen== | |||
<references/> | |||
Aktuelle Version vom 29. April 2019, 16:42 Uhr
In diesem Wiki werden unterschiedliche formale mathematische Systeme beschrieben: Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Klassenlogik, relationale Argebra etc. Nachfolgend werden die wichtigsten Symbole beschrieben, die in diesem Wiki zu Einsatz kommen.
Der zweiwertigen Logik liegen in diesem Wiki die beiden Wahrheitswerte T für TRUE/„wahr“ und F für FALSE/„falsch“ zugrunde.
Die Formeln der Objekt- un der Metaspache unterscheiden sich nicht. Falls es nötig sein sollte, zwischen beiden Sprachen zu unterscheiden, werden Ausdrücke und Formeln in Anlenhnung an Glubrecht et al. (1983)[1] in Klammern $ \ulcorner $ und $ \urcorner $ gesetzt.
Junktoren
Es gibt zwei nullstellige (konstante), zwei einstellige und 10 zweistellige Junktoren:
| Namen | Symbol | Wahrheitswerte |
|---|---|---|
| Verum | $ \top $ | T |
| Falsum | $ \bot $ | F |
| Namen | Symbol | Wahrheitswerte | |
|---|---|---|---|
| $ a $ T |
$ a $ F | ||
| Identität | $ {\rm{id}}(a) $ | T | F |
| Negation | $ {\lnot}a $ | F | T |
| Namen | Symbol (Präfix) |
Symbol (Infix) |
Wahrheitswerte | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
| |||||||||||||||||||
| Sheffer-Strich, NAND | $ \mid(a, b) $ | $ a \mid b $ | F | T | T | T | ||||||||||||||||
| Konjunktion, AND | $ \wedge(a, b) $ | $ a \wedge b $ | T | F | F | F | ||||||||||||||||
| Disjunktion, Adjunktion, OR | $ \vee(a, b) $ | $ a \vee b $ | T | W | W | F | ||||||||||||||||
| Peirce-Funktion, NOR | $ \overline\vee(a, b) $ | $ a \overline\vee b $ | F | F | F | T | ||||||||||||||||
| Subjunktion, Implikation | $ \rightarrow(a, b) $ | $ a \rightarrow b $ | T | F | T | T | ||||||||||||||||
| Postsektion, Nur a | $ \not\rightarrow(a, b) $ | $ a \not\rightarrow b $ | F | T | F | F | ||||||||||||||||
| Konversion | $ \leftarrow(a, b) $ | $ a \leftarrow b $ | T | T | F | T | ||||||||||||||||
| Präsektion, Nur b | $ \not\leftarrow(a, b) $ | $ a \not\leftarrow b $ | F | F | T | F | ||||||||||||||||
| Bijunktion | $ \leftrightarrow(a, b) $ | $ a \leftrightarrow b $ | T | F | F | T | ||||||||||||||||
| Kontravalenz, XOR | $ \not\leftrightarrow(a, b) $ | $ a \not\leftrightarrow b $ | F | T | T | F | ||||||||||||||||
Die zweistelligen Junktoren werden normalerweise in Infixnotation ($ a \wedge b $) und nicht in Präfixnotation ($ \wedge(a,b) $) geschrieben. Wenn dabei auf Klammern verzichtet wird, gilt die Rangfolge gemäß obiger Tabelle: $ \wedge $ bindet enger als $ \vee $ etc. Das heißt, $a \vee b \wedge c$ ist eine Abkürzung für $(a \vee (b \wedge c))$.
Die Präfixnotation kann für mehr als zwei Elemente verallgemeinert werden:
$ \wedge(a,b,c) := \wedge(\wedge(a,b), c) $, $ \wedge(a,b,c,d) := \wedge(\wedge(\wedge(a,b), c),d) $ etc.
Analog gilt dies auch für alle anderen zweistelligen Junktoren.
Für die Konjunktion und die Disjunktion gibt es noch jeweils zwei weitere Abkürzungen:
| $ \wedge() := \top $ | |
| $ \wedge(a) := a $ | d.h. $ a = \wedge(a) = \wedge(\wedge(), a) $, $ \wedge(a, b) =\wedge(\wedge(\wedge(), a), b) $, $ \wedge(a, b, c) = \wedge(\wedge( \wedge(\wedge(), a), b), c) $ etc. |
| $ \vee() := \bot $ | |
| $ \vee(a) := a $ | d.h. $ a = \vee(a) = \vee(\vee(), a) $, $ \vee(a, b) =\vee(\vee(\vee(), a), b) $, $ \vee(a, b. c) =\vee(\vee(\vee(\vee(), a), b), c) $ etc. |
Quellen
- ↑ Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983): Jürgen-Michael Glubrecht, Arnold Oberschelp und Günter Todt; Klassenlogik; Verlag: Bibliographisches Institut; Adresse: Mannheim, Wien, Zürich; ISBN: 3-411-01634-5, 978-3411016341; 1983; Quellengüte: 5 (Buch)
