Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Dreiecksverteilung (Satz): Unterschied zwischen den Versionen

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=Voraussetzung=
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Es seien: <math>a \in ]-\infty,\infty[</math>, <math>b \in ]a,\infty[</math> und <math>c \in ]a,b[</math>.
Es seien: <math>a \in ]-\infty,\infty[</math>, <math>b \in ]a,\infty[</math> und <math>c \in ]a,b[</math>.
Es sei überdies <math>d := b-a > 0\!</math> die Länge des Intervalls <math>[a,b]\!</math>.


Die Dichtefunktionen <math>f_{D(a,b,c)}\!</math> und <math>f_{D((c-a)/d)}\!</math>  
Die Dichtefunktionen <math>f_{D(a,b,c)}\!</math> und <math>f_{D((c-a)/d)}\!</math>  
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der Dreiecksverteilung genannten Voraussetzungen.  
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Ebenso erfüllt <math>(c-a)/d\!</math> die in der Definition der Standard-Dreickesverteilung
Ebenso erfüllt <math>(c-a)/(b-a)\!</math> die in der Definition der Standard-Dreickesverteilung
geforderte Bedingung <math>(c-a)/d \in ]0,1[\!</math>, da
geforderte Bedingung <math>(c-a)/(b-a) \in ]0,1[\!</math>, da
<math>c-a>0\!</math>, <math>d=b-a>0\!</math> und <math>c-a<b-a=d\!</math>.
<math>c-a>0\!</math>, <math>b-a>0\!</math> und <math>c-a<b-a\!</math>.


=Satz=
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Die Dichtefunktionen der  [[Dreiecksverteilungen]]
Die Dichtefunktionen der  [[Dreiecksverteilungen]]
können mit Hilfe zweier [[affine Transformation|affiner Transformationen]]  
können mit Hilfe zweier [[affine Transformation|affiner Transformationen]]  
<math>t_1(x) = \frac{x-a}{d} = \frac{1}{d}\cdot x - \frac{a}{d}</math> und  
<math>t_1(x) = \frac{x-a}{b-a} = \frac{1}{b-a}\cdot x - \frac{a}{b-a}</math> und  
<math>t_2(x) = \frac{1}{d}\cdot x</math> aus den  
<math>t_2(x) = \frac{1}{b-a}\cdot x</math> aus den  
Dichtefunktionen der [[Standard-Dreiecksverteilung]] erzeugt werden:
Dichtefunktionen der [[Standard-Dreiecksverteilung]] erzeugt werden:


<math>  f_{D(a,b,c)}(x)  
<math>  f_{D(a,b,c)}(x)  
       = t_2 \circ f_{D(a,b,c)} \circ t_1(x)
       = t_2 \circ f_{D(a,b,c)} \circ t_1(x)
       = \frac{1}{d}\cdot f_{D((c-a)/d)}\left(\frac{x-a}{d}\right)
       = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
</math> (vgl. [[Verkettung von Funktionen]])
</math> (vgl. [[Verkettung von Funktionen]])


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Höhe der transformierten Dichtefunktion so, dass die von ihr umfasste Fläche ''wieder'' 1 beträgt (vgl. [[Standard-Dreiecksverteilung: Dichtefunktion (Satz)|Satz über die Dichtefunktion der Standard-Dreiecksfunktion]]) :
Höhe der transformierten Dichtefunktion so, dass die von ihr umfasste Fläche ''wieder'' 1 beträgt (vgl. [[Standard-Dreiecksverteilung: Dichtefunktion (Satz)|Satz über die Dichtefunktion der Standard-Dreiecksfunktion]]) :


<math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{d}\cdot f_{D((c-a)/d)}\left(\frac{x-a}{d}\right)\, \mathrm{d}x =  
<math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\, \mathrm{d}x =  
       \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{D(a,b,c)}(x)\, \mathrm{d}x = 1</math>  
       \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{D(a,b,c)}(x)\, \mathrm{d}x = 1</math>  
([[Dreiecksverteilung:Dichtefunktion (Satz)|Satz über die Dichtefunktion der allgemeinen Dreiecksverteilung]])
([[Dreiecksverteilung:Dichtefunktion (Satz)|Satz über die Dichtefunktion der allgemeinen Dreiecksverteilung]])


=Beweis=
=Beweis=
Die Bedingungen <math>x < a\!</math> und <math>\frac{x-a}{d} < 0</math>
Die Bedingungen <math>x < a\!</math> und <math>\frac{x-a}{b-a} < 0</math>
sowie <math>x > b\!</math> und <math>\frac{x-a}{d} > 1</math> sind äquivalent
sowie <math>x > b\!</math> und <math>\frac{x-a}{b-a} > 1</math> sind äquivalent
([[Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)]]).
([[Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)]]).


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Dichtefunktionen konstant gleich 0. Und damit gilt die Aussage des Satzes trivialerweise:
Dichtefunktionen konstant gleich 0. Und damit gilt die Aussage des Satzes trivialerweise:


<math>f_{D(a,b,c)}(x) = 0 = f_{D((c-a)/d)}\left(\frac{x-a}{d}\right) = \frac{1}{d}\cdot f_{D((c-a)/d)}\left(\frac{x-a}{d}\right)</math>  (Def. der Dichtefunktionen der [[Standard-Dreiecksverteilung|standardisierten ]] und der [[Dreiecksverteilung|allgemeinen Dreiecksverteilung]])
<math>f_{D(a,b,c)}(x) = 0 = f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)</math>  (Def. der Dichtefunktionen der [[Standard-Dreiecksverteilung|standardisierten ]] und der [[Dreiecksverteilung|allgemeinen Dreiecksverteilung]])


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Für <math>a \le x \le c</math> bzw. die dazu äquivalente Bedingung <math>0 \le \frac{x-a}{d} \le \frac{c-a}{d}</math>  
Für <math>a \le x \le c</math> bzw. die dazu äquivalente Bedingung <math>0 \le \frac{x-a}{b-a} \le \frac{c-a}{b-a}</math>  
([[Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)]]) gilt:
([[Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)]]) gilt:


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|  ([[Standard-Dreiecksverteilung|Definition der Dichtefunktion der Standard-Dreiecksverteilung]])  
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Für <math>c < x \le b</math> bzw. die dazu äquivalente Bedingung <math>\frac{c-a}{d} < \frac{x-a}{d} \le 1</math>  
Für <math>c < x \le b</math> bzw. die dazu äquivalente Bedingung <math>\frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a} \le 1</math>  
([[Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)]]) gilt:
([[Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)]]) gilt:


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| <math>\frac{1}{d}\cdot f_{D((c-a)/d)}\left(\frac{x-a}{d}\right)</math>  
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| <math>\frac{1}{b-a}\cdot 2\cdot\frac{1-\frac{x-a}{b-a}}{1-\frac{c-a}{b-a}} </math>
|  ([[Standard-Dreiecksverteilung|Definition der Dichtefunktion der Standard-Dreiecksverteilung]])  
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| <math>\frac{2}{d}\cdot\frac{\frac{(b-a-x+a)}{b-a}}{\frac{(b-a-c+a)}{b-a}}</math>  
| <math>\frac{2}{b-a}\cdot\frac{\frac{(b-a-x+a)}{b-a}}{\frac{(b-a-c+a)}{b-a}}</math>  
|  (Definition: <math>d=b-a\!</math>)
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Version vom 30. Januar 2011, 12:01 Uhr

Voraussetzung

Es seien: $ a \in ]-\infty,\infty[ $, $ b \in ]a,\infty[ $ und $ c \in ]a,b[ $.

Die Dichtefunktionen $ f_{D(a,b,c)}\! $ und $ f_{D((c-a)/d)}\! $ seien wie in Dreiecksverteilung bzw. Standard-Dreiecksverteilung beschrieben definiert.

Aufgrund der obigen Voraussetzungen erfüllen die Parameter $ a,b,c\! $ die in der Definition der Dreiecksverteilung genannten Voraussetzungen.

Ebenso erfüllt $ (c-a)/(b-a)\! $ die in der Definition der Standard-Dreickesverteilung geforderte Bedingung $ (c-a)/(b-a) \in ]0,1[\! $, da $ c-a>0\! $, $ b-a>0\! $ und $ c-a<b-a\! $.

Satz

Die Dichtefunktionen der Dreiecksverteilungen können mit Hilfe zweier affiner Transformationen $ t_1(x) = \frac{x-a}{b-a} = \frac{1}{b-a}\cdot x - \frac{a}{b-a} $ und $ t_2(x) = \frac{1}{b-a}\cdot x $ aus den Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksverteilung erzeugt werden:

$ f_{D(a,b,c)}(x) = t_2 \circ f_{D(a,b,c)} \circ t_1(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $ (vgl. Verkettung von Funktionen)

Veranschaulichung

Die Transformationsfunktion $ t_1\! $ bildet das Interval $ [0,1]\! $ auf das Interval $ [a,b]\! $ ab, die Transformationsfunktion $ t_2\! $ modifiziert die Höhe der transformierten Dichtefunktion so, dass die von ihr umfasste Fläche wieder 1 beträgt (vgl. Satz über die Dichtefunktion der Standard-Dreiecksfunktion) :

$ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\, \mathrm{d}x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{D(a,b,c)}(x)\, \mathrm{d}x = 1 $ (Satz über die Dichtefunktion der allgemeinen Dreiecksverteilung)

Beweis

Die Bedingungen $ x < a\! $ und $ \frac{x-a}{b-a} < 0 $ sowie $ x > b\! $ und $ \frac{x-a}{b-a} > 1 $ sind äquivalent (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)).

In den zugehörigen Intervallen $ ]-\infty,a[ $ bzw. $ ]-\infty,0[ $ sowie $ ]b, \infty[ $ bzw. $ ]1, \infty[ $ sind die jeweiligen Dichtefunktionen konstant gleich 0. Und damit gilt die Aussage des Satzes trivialerweise:

$ f_{D(a,b,c)}(x) = 0 = f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $ (Def. der Dichtefunktionen der standardisierten und der allgemeinen Dreiecksverteilung)



Für $ a \le x \le c $ bzw. die dazu äquivalente Bedingung $ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le \frac{c-a}{b-a} $ (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)) gilt:

$ \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $
= $ \frac{1}{b-a}\cdot 2\cdot\frac{\frac{x-a}{b-a}}{\frac{c-a}{b-a}} $ (Definition der Dichtefunktion der Standard-Dreiecksverteilung)
= $ \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} $
= $ f_{D(a,b,c)}(x)\! $ (Definition der Dichtefunktion der Dreiecksverteilung)



Für $ c < x \le b $ bzw. die dazu äquivalente Bedingung $ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a} \le 1 $ (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)) gilt:

$ \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $
= $ \frac{1}{b-a}\cdot 2\cdot\frac{1-\frac{x-a}{b-a}}{1-\frac{c-a}{b-a}} $ (Definition der Dichtefunktion der Standard-Dreiecksverteilung)
= $ \frac{2}{b-a}\cdot\frac{\frac{(b-a-x+a)}{b-a}}{\frac{(b-a-c+a)}{b-a}} $
= $ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} $
= $ f_{D(a,b,c)}(x)\! $ (Definition der Dichtefunktion der Dreiecksverteilung)



Damit ist die Behauptung für alle $ x \,\in\, ]-\infty,\infty[ \, = \, ]-\infty,a[ \,\cup\, [a,c] \,\cup\, ]c,b] \,\cup\, ]b,\infty[ $ gezeigt.

Quellen

Siehe auch

Wikipedia:Affine_Transformation


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