Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Dreiecksverteilung (Satz)

Voraussetzung

Es seien: $ a \in ]-\infty,\infty[ $, $ b \in ]a,\infty[ $ und $ c \in ]a,b[ $.

Die Dichtefunktionen $ f_{D(a,b,c)}\! $ und $ f_{D((c-a)/d)}\! $ seien wie in Dreiecksverteilung bzw. Standard-Dreiecksverteilung beschrieben definiert.

Aufgrund der obigen Voraussetzungen erfüllen die Parameter $ a,b,c\! $ die in der Definition der Dreiecksverteilung genannten Voraussetzungen.

Ebenso erfüllt $ (c-a)/(b-a)\! $ die in der Definition der Standard-Dreickesverteilung geforderte Bedingung $ (c-a)/(b-a) \in ]0,1[\! $, da $ c-a>0\! $, $ b-a>0\! $ und $ c-a<b-a\! $.

Satz

Die Dichtefunktionen der Dreiecksverteilungen können mit Hilfe zweier affiner Transformationen $ t_1(x) = \frac{x-a}{b-a} = \frac{1}{b-a}\cdot x - \frac{a}{b-a} $ und $ t_2(x) = \frac{1}{b-a}\cdot x $ aus den Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksverteilung erzeugt werden:

$ f_{D(a,b,c)}(x) = t_2 \circ f_{D(a,b,c)} \circ t_1(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $ (vgl. Verkettung von Funktionen)

Veranschaulichung

Die Transformationsfunktion $ t_1\! $ bildet das Interval $ [0,1]\! $ auf das Interval $ [a,b]\! $ ab, die Transformationsfunktion $ t_2\! $ modifiziert die Höhe der transformierten Dichtefunktion so, dass die von ihr umfasste Fläche wieder 1 beträgt (vgl. Satz über die Dichtefunktion der Standard-Dreiecksfunktion) :

$ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\, \mathrm{d}x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{D(a,b,c)}(x)\, \mathrm{d}x = 1 $ (Satz über die Dichtefunktion der allgemeinen Dreiecksverteilung)

Beweis

Die Bedingungen $ x < a\! $ und $ \frac{x-a}{b-a} < 0 $ sowie $ x > b\! $ und $ \frac{x-a}{b-a} > 1 $ sind äquivalent (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)).

In den zugehörigen Intervallen $ ]-\infty,a[ $ bzw. $ ]-\infty,0[ $ sowie $ ]b, \infty[ $ bzw. $ ]1, \infty[ $ sind die jeweiligen Dichtefunktionen konstant gleich 0. Und damit gilt die Aussage des Satzes trivialerweise:

$ f_{D(a,b,c)}(x) = 0 = f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $ (Def. der Dichtefunktionen der standardisierten und der allgemeinen Dreiecksverteilung)

Für $ a \le x \le c $ bzw. die dazu äquivalente Bedingung $ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le \frac{c-a}{b-a} $ (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)) gilt:

	$ \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $
=	$ \frac{1}{b-a}\cdot 2\cdot\frac{\frac{x-a}{b-a}}{\frac{c-a}{b-a}} $	(Definition der Dichtefunktion der Standard-Dreiecksverteilung)
=	$ \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} $
=	$ f_{D(a,b,c)}(x)\! $	(Definition der Dichtefunktion der Dreiecksverteilung)

Für $ c < x \le b $ bzw. die dazu äquivalente Bedingung $ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a} \le 1 $ (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)) gilt:

	$ \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $
=	$ \frac{1}{b-a}\cdot 2\cdot\frac{1-\frac{x-a}{b-a}}{1-\frac{c-a}{b-a}} $	(Definition der Dichtefunktion der Standard-Dreiecksverteilung)
=	$ \frac{2}{b-a}\cdot\frac{\frac{(b-a-x+a)}{b-a}}{\frac{(b-a-c+a)}{b-a}} $
=	$ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} $
=	$ f_{D(a,b,c)}(x)\! $	(Definition der Dichtefunktion der Dreiecksverteilung)

Damit ist die Behauptung für alle $ x \,\in\, ]-\infty,\infty[ \, = \, ]-\infty,a[ \,\cup\, [a,c] \,\cup\, ]c,b] \,\cup\, ]b,\infty[ $ gezeigt.

Quellen

• Autor des Beweises: W. Kowarschick

Siehe auch

• Wikipedia:Affine_Transformation