Algebraische Struktur: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 9. August 2012, 13:50 Uhr
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Definition: Algebraische Struktur
Ein Paar $ \mathcal{A} = (A, (d_i)_{i \in I}) $ heißt Algebraische Struktur oder Universelle Algebra, wenn:
- $ A $ ist eine Menge oder Klasse, die so genannte Trägermenge
- $ I $ ist eine nicht-leere Indexmenge
- $ (d_i)_{i \in I} $ ist eine Familie von Deskriptoren algebraischer Operationen
mit $ d_i = (d_i, A, n_i, B_i) $ für alle $ i \in I $.
Die Funktionen $ o_i $ der algebraischen Struktur sind also $ n_i $-stellige algebraischer Operationen über der Tägermenge $ A $ mit dem Operationsbereich $ B_i $:
Bemerkungen
An Stelle von Algebraische Struktur sagt man häufig kurz Algebra.
Gellert, Kästner (1979) merken an, dass bei der Definition des Begriffs Algebraische Struktur partielle algebraische Operationen zugelassen sein können.[1] Dies ist hier (in diesem Wiki) aufgrund der Definition des Begriffes Algebraische Oprenration automatisch gegeben.
Asser (1980) fordert, dass eine Algebraische Struktur auch Konstanten ($ \in A $) und Relationen über $ A $ (d.h. Teilmengen von $ A^n $, $ n \in \mathbb{N} $) enthalten darf.[2] Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen $ f: A^0 \rightarrow A $ als Konstanten aufgefasst werden können und auch Relationen durch Funktionen
oder partielle Funktionen
nachgebildet werden können.
Meyberg (1980) dagegen definiert Algebraische Strukturen allgemeiner. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge $ A $ auf Elemente der Grundmenge $ A $ abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art:[3]
Äußere Verknüpfungen sind in diesem Wiki in der Definition des Begriffes Algebraische Oprenration ebenfalls enthalten.
Beispiele
- Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur, bei der alle algebraischen Operationen total sind: $ (\mathbb{N}, +, \cdot) $.
- Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation eine algebraische Struktur mit einer echt-patiellen algebraischen Operation: $ (\mathbb{N}, +, -, \cdot) $, die Subtraktion ist lediglich eine partielle algebraische Operation.
Verschiedene Typen von algebraischen Strukturen
- Magma
- Halbring
- Verband
- Hyperkomplexes System = Algebra über einen Ring (oft auch nur: Algebra)
- Relationale Algebra
Quellen
- ↑
- ↑ Asser (1980): Günter Asser; Grundbegriffe der Mathematik – I. Mengen. Abbildungen. Natürliche Zahlen; Auflage: 4; Verlag: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften; Adresse: Berlin; 1980; Quellengüte: 5 (Buch)
- ↑ Meyberg (1980): Kurt Meyberg; Algebra – Teil 1; Auflage: 2; Verlag: Carl Hanser Verlag; Adresse: München, Wien; 1980; Quellengüte: 5 (Buch)
- Brockhaus (1986, A-APT): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 1, A-APT; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1101-4; 1986; Quellengüte: 5 (Buch)
