Metasprache

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Definition (Brockhaus)

Metasprache, Sprache oder Symbolsystem zur wiss. Beschreibung einer Sprache oder eines Symbolsystems, z. B. eine formalisierte Sprache, in der die Beschreibung einer natürl. Sprache vorgenommen wird. Eine M[etasprache] kann ihrerseits wieder Objektsprache einer M[etasprache] [, der so genannten Metametasprache (Anm. von Kowarschick),] werden.

Definition (Brockhaus)

Objektsprache, Sprachwissenschaft:

1. natürl. Sprache, mit der auf einen außersprachl. Sachverhalt Bezug genommen wird;
2. Sprache (natürl. Sprache, Fremdsprache, formalisierte Sprache), die in einer Metasprache beschrieben wird.

Definition (Gellert, Kästner)

Metasprache: Sprache, in der über Aussagen einer anderen Sprache, der Objektsprache, gesprochen wird.

Definition (Kowarschick, analog zu )

Metametasprache: Sprache, in der über Aussagen einer Metasprache gesprochen wird.

Metametametasprache: Sprache, in der über Aussagen einer Metametasprache gesprochen wird.

Et cetera.

Anmerkungen und Beispiele

Man kann in einer Sprache reden (z.B. in Deutsch) oder über eine Sprache (z.B. über Deutsch als englisch- oder auch als deutschsprachiger Germanist).

Amerikanischen Germanisten reden auf Englisch (Metasprache) über Deutsch (Objektsprache). Deutsche Germanisten reden auf Deutsch (Metasprache) über Deutsch (Objektsprache):

The German sentence „Hans trinkt Tee“ consists of a subject, a predicate and an object.

Der deutsche Satz „Hans trinkt Tee“ besteht aus einem Subjekt, einem Prädikat und einem Objekt.

Allerdings kann die Vermischung von Sprachschichten mittels Selbstreferenz zu Paradoxien führen:

Diser Saz enthält drei Fehler.

Wer das geschrieben hat, kann nicht fehlerfrei schreiben, obendrein auch nicht zählen. Oh, das ist dann der 3. Fehler. Dann enthält der Satz doch nur Rechtschreibe- und keine Zählfehler, also nur zwei Fehler, also doch einen Zählfehler, usw.

Das Problem entsteht dadurch, dass der Satz „lediglich“ zwei syntaktische Fehler enthält (Syntax: Objektebene). Das Zählen der Fehler findet dagegen auf der semantischen Ebene statt (Semantik: Metaebene).

Weitere Beispiele:

Anworten Sie auf diese Frage mit einer Verneinung?

Befolgen Sie diese Anweisung nicht!

Die selbstreferentielle Frage kann nicht korrekt (mit „Ja“ oder „Nein“ oder Ähnlichem) beantwortet werden, die selbstreferentielle Anweisung kann nicht korrekt befolgt werden. Auch hier findet wieder eine Vermischung der Sprachebenen statt.

Mathematische Logik

Laut Definition ist es Ziel der mathematischen Logik, das natürliche, umgangssprachliche Hantieren mit Aussagen und Folgerungen in einem mathematischn Formalisms, einem Kalkül, zu präzisieren, um zu einer rein mechanischen Ausführung von Beweisen zu gelangen. Um Probleme zu vermeiden, wie sie zuvor anhand von Beispielen aufgezeigt wurden, ist es in diesem Teilgebiet der Mathematik extrem wichtig zwischen Objet- und Metasprache zu unterscheiden.

In diesem Wiki werden folgende Sprachen verwendet:

Sprache	Syntax	Semantik	In diesem Wiki
Objektsprache	Ausdrücke und Terme bestehend aus ¬, ∧, ∨, →, ↔, ∃, ∀ etc.	Wahrheitswerte, formal definiert mittels einer Metasprace	Objektsprache/Aussagelogik Objektsprache/Prädikatenlogik
Metasprache	Ausdrücke und Terme bestehend aus ~, &, ⇒, ⇔ etc. sowie deutsche Sätze	informell beschrieben mittels der Metametasprache, sofern nicht bekannt	Elementare Mengenlehre Metasprache/Aussagelogik Metasprache/Prädikatenlogik
Metametasprache etc.	Deutsch (Rechtschreibung und Grammatik)	als bekannt vorasgesetzte Semantik der deutschen Sprache

Gödelscher Unvollständigkeitssatz

Allerdings ist die Vermischung von Objekt- und Metaebene manchmal notwendig, um neue, bahnbrechende Einsichten zu erhalten. Kurt Gödel hat mit seinem berühmten erstem Unvollständigkeitsatz bewiesen, dass es in jedem widerspruchsfreiem axiomatischen System, dass die Arithmetik der natürlichen Zahlen umfasst, wahre Ausagen gibt, die nicht mit Hilfe des Systems bewiesen werden können.

Seine Beweisidee basiert ebenfalls auf einer Vermischung der Sprachebenen. Zunächst definiert er – auf Objektebne! – mit Hilfe der Arithmetik der natürlichen Zahlen einen Beweiskalkül G. Da transformiert er den Satz „Diese Aussage lässt sich innerhalb des Systems G nicht beweisen.“ in die Objektsprache. Diese transformierte Aussage kann tatsächlich nicht mit Hilfe des Systems G bewiesen werden, da dies sofort zu einem Widersprucht führen würde. Also gibt es eine wahre Aussage, die innerhalb von G nicht beweisen werden kann.

Ein sehr anschauliche Version des Beweises von Gödel einschließlich vieler Implikationen, die dieser Satz zur Folge hat, findet man in dem Buch „Gödel, Escher, Bach“ von Douglas R. Hofstadter.

TO BE DONE

Quelle, Verweis auf Gödelschen Unvollständigkeitsatz

Der Leser kann diesen Satz (namens GöU) nicht beweisen.

Bei „GöU“ handelt es sich um einen wahren Satz.

Beweis (durch den Autor dieses Artikels)

Wenn der Leser „GöU“ beweisen könnte, würde er beweisen, dass er „GöU“ nicht beweisen kann. Da dies einen Wiederspruch darstellt, kann der Leser „GöU“ nicht beweisen. Der Satz ist also wahr!

(Auf dieselbe Weise kann der Autor dieses Artikels sogar den Satz „Der Leser kann diesen Satz nicht für wahr halten.“ als wahr beweisen. Man beachte, dass es sich beim vorangegangenen Satz um einen Satz auf Metametaebene handelt, da im Satz „Der Leser kann diesen Satz nicht für wahr halten“ bereits Objekt- und Metaebene vermischt werden.)