Beta-Verteilung (standardisiert): Unterschied zwischen den Versionen

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=Definition=
==Definition==


Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X = \Beta V(\alpha,\beta)\;</math> heißt '''standardisiert beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] $X = \Beta V(\alpha,\beta)\;$ heißt '''standardisiert beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
die [[Dichtefunktion]]  
die [[Dichtefunktion]]  


<math>f_X(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x)=
<div class="formula">$
  f_X(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x)=
         \begin{cases}  
         \begin{cases}  
           \frac{x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1 \\  
           \frac{x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1 \\  
           0                                                      & \mbox{sonst }
           0                                                      & \mbox{sonst }
         \end{cases}           
         \end{cases}           
</math>
$</div>


beschrieben werden kann. <math>\Beta(\alpha,\beta)\!</math> ist dabei die [[Beta-Funktion]].
beschrieben werden kann. $Beta(\alpha,\beta)$ ist dabei die [[Beta-Funktion]].


<math>\alpha\,</math> und  <math>\beta\,</math> heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.
$\alpha$ und  $\beta$ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.


=Eigenschaften einer standardisiert beta-verteilten Zufallsgröße=
==Eigenschaften einer standardisiert beta-verteilten Zufallsgröße==


{{Wahrscheinlichkeitsverteilung |
{{Wahrscheinlichkeitsverteilung |
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   parameters =<math>\alpha \in ]0,\infty[</math><br><math>\beta \in ]0,\infty[</math>|
   parameters =<math>\alpha \in ]0,\infty[</math><br><math>\beta \in ]0,\infty[</math>|
   annotations_parameters =(vgl. Parameter der <br>[[Beta-Verteilung|allgemeinen<br/> Beta-Verteilung]] )|
   annotations_parameters =(vgl. Parameter der <br>[[Beta-Verteilung|allgemeinen<br/> Beta-Verteilung]] )|
   pdf        =<math>
   pdf        =$f_X(x) :=
                f_X(x) :=
                   \begin{cases}  
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                     \frac{{x^{\alpha -1}\cdot(1-x)^{\beta-1}}}{ {\Beta(\alpha,\beta)} }& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1\\  
                     0                          & \mbox{sonst }
                     0                          & \mbox{sonst }
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               </math>|
               $|
   
   
   continuity = <math>f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\!</math>|
   continuity = $f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[$|
   
   
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   support    =$f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[$|


   cdf        =|
   cdf        =|


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   mode      =$c := \frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2}$<br>
<math>\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1\!</math>|
$\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1$|


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   mean      $\mu(X) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$|


   quartile  =|
   quartile  =|
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   median      =|
   median      =|


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   variance  =$\operatorname{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$|


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   sigma      =$\sigma(X) = \frac{1}{ {(\alpha+\beta)} }\sqrt{ {\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1} } }$|


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=Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung=
==Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung==


In [[Beta-Verteilung]] wird eine allgemeinere Dichtefunktion <math>f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}\!</math> definiert.
In [[Beta-Verteilung]] wird eine allgemeinere Dichtefunktion <math>f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}\!</math> definiert.
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auch eine Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung|allgemeinen Beta-Verteilungen]] ist:
auch eine Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung|allgemeinen Beta-Verteilungen]] ist:


<math>f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,0,1)}(x) \!</math>  
<div class="formula">$f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,0,1)}(x)$</div>


Umgekehrt können alle
Umgekehrt können alle
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Dichtefunktionen der [[Beta-Verteilung (standardisiert)|standardisierten Beta-Verteilungen]] erzeugt werden:
Dichtefunktionen der [[Beta-Verteilung (standardisiert)|standardisierten Beta-Verteilungen]] erzeugt werden:


<math> f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)  
<div class="formula">$ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)  
       = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
       = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
</math>
$</div>


([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]])
([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]])


=Quellen=
==Quellen==
#{{Quelle|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}
#{{Quelle|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}
#{{Quelle|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}}
#{{Quelle|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}}

Version vom 22. September 2014, 09:31 Uhr

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(fast vollständig vorhanden) 		Quellenarten: 5
(ausgezeichnet) 		Konformität: 4
(sehr gut)

Definition

Eine stetige Zufallsgröße $X = \Beta V(\alpha,\beta)\;$ heißt standardisiert beta-verteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

$ 
  f_X(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x)=
       \begin{cases} 
         \frac{x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1 \\ 
         0                                                       & \mbox{sonst }
       \end{cases}
$

beschrieben werden kann. $Beta(\alpha,\beta)$ ist dabei die Beta-Funktion.

$\alpha$ und $\beta$ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.

Eigenschaften einer standardisiert beta-verteilten Zufallsgröße

Parameter
(vgl. Parameter der
allgemeinen
Beta-Verteilung )		$ \alpha \in ]0,\infty[ $
$ \beta \in ]0,\infty[ $
Dichtefunktion
$f_X(x) := 
                 \begin{cases} 
                   \frac{{x^{\alpha -1}\cdot(1-x)^{\beta-1}}}{ {\Beta(\alpha,\beta)} }& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1\\ 
                   0                          & \mbox{sonst }
                 \end{cases}
$
Stetigkeit
$f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[$
Träger
$f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[$
Modus
$c := \frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2}$
$\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1$
Varianz
$\operatorname{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$
Standardabweichung
$\sigma(X) = \frac{1}{ {(\alpha+\beta)} }\sqrt{ {\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1} } }$

Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung

In Beta-Verteilung wird eine allgemeinere Dichtefunktion $ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}\! $ definiert. Wie hängen die hier definierte spezielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer standardisierten Beta-Verteilungen auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Beta-Verteilungen ist:

$f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,0,1)}(x)$

Umgekehrt können alle Dichtefunktionen allgemeinen Beta-Verteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der standardisierten Beta-Verteilungen erzeugt werden:

$ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) 
     = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
$

(Beweis der zweiten Aussage)

Quellen

  1. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
  2. Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
  3. WikipediaEn: Beta distribution
  4. Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung
  5. xycoon: Beta Distribution
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