Beta-Verteilung (standardisiert): Unterschied zwischen den Versionen
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0 & \mbox{sonst } | 0 & \mbox{sonst } | ||
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beschrieben werden kann. $ | beschrieben werden kann. $B(\alpha,\beta)$ ist dabei die [[Beta-Funktion]]. | ||
$\alpha$ und $\beta$ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen. | $\alpha$ und $\beta$ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen. | ||
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pdf =$f_X(x) := | pdf =$f_X(x) := | ||
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==Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung== | ==Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung== | ||
In [[Beta-Verteilung]] wird eine allgemeinere Dichtefunktion <math>f_{ | In [[Beta-Verteilung]] wird eine allgemeinere Dichtefunktion <math>f_{BV(\alpha,\beta,a,b)}\!</math> definiert. | ||
Wie hängen die hier definierte spezielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen? | Wie hängen die hier definierte spezielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen? | ||
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= \frac{1}{b-a}\cdot f_{ | = \frac{1}{b-a}\cdot f_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) | ||
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Version vom 6. September 2017, 15:44 Uhr
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Definition
Eine stetige Zufallsgröße $X = BV(\alpha,\beta)\;$ heißt standardisiert beta-verteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion
$
f_X(x) = f_{BV(\alpha,\beta)}(x)=
\begin{cases}
\frac{x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1 \\
0 & \mbox{sonst }
\end{cases}
$beschrieben werden kann. $B(\alpha,\beta)$ ist dabei die Beta-Funktion.
$\alpha$ und $\beta$ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.
Eigenschaften einer standardisiert beta-verteilten Zufallsgröße
| Parameter (vgl. Parameter der allgemeinen Beta-Verteilung ) | $ \alpha \in ]0,\infty[ $ $ \beta \in ]0,\infty[ $ |
| Dichtefunktion | $f_X(x) :=
\begin{cases}
\frac{{x^{\alpha -1}\cdot(1-x)^{\beta-1}}}{ {B(\alpha,\beta)} }& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1\\
0 & \mbox{sonst }
\end{cases}
$ |
| Stetigkeit | $f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[$ |
| Träger | $f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[$ |
| Modus | $c := \frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2}$ $\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1$ |
| Varianz | $\operatorname{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$ |
| Standardabweichung | $\sigma(X) = \frac{1}{ {(\alpha+\beta)} }\sqrt{ {\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1} } }$ |
Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung
In Beta-Verteilung wird eine allgemeinere Dichtefunktion $ f_{BV(\alpha,\beta,a,b)}\! $ definiert. Wie hängen die hier definierte spezielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?
Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer standardisierten Beta-Verteilungen auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Beta-Verteilungen ist:
$f_{BV(\alpha,\beta)}(x) = f_{BV(\alpha,\beta,0,1)}(x)$
Umgekehrt können alle Dichtefunktionen allgemeinen Beta-Verteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der standardisierten Beta-Verteilungen erzeugt werden:
$ f_{BV(\alpha,\beta,a,b)}(x)
= \frac{1}{b-a}\cdot f_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
$Quellen
- Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
- Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
- WikipediaEn: Beta distribution
- Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung
- xycoon: Beta Distribution
