Algebraische Struktur: Unterschied zwischen den Versionen
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auf Elemente der Grundmenge <math>A</math> abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art: | auf Elemente der Grundmenge <math>A</math> abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art: | ||
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Aus diesem Grund wurde zuvor zusätzlich der Begriff '''Algebraische Struktur mit partiellen inneren und äußeren Operationen''' definiert. | |||
Allerdings lässt Meyberg nur zweistellige Funktionen in seiner Definition zu, d.h. bei „inneren Verknüpfungen“ muss <math>n=2</math> gelten und bei äußeren <math>m=n=2</math>.<ref>{{Quelle|Meyberg, K. (1980): Algebra – Teil 1}}</ref> | Allerdings lässt Meyberg nur zweistellige Funktionen in seiner Definition zu, d.h. bei „inneren Verknüpfungen“ muss <math>n=2</math> gelten und bei äußeren <math>m=n=2</math>.<ref>{{Quelle|Meyberg, K. (1980): Algebra – Teil 1}}</ref> | ||
Version vom 4. August 2012, 14:20 Uhr
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Definition: Algebraische Struktur (ohne partielle Operationen)
Ein Tupel $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ heißt Algebraische Struktur ohne partielle Operationen, wenn:
- $ A\, $ ist eine nichtleere Menge
- Für alle $ i \in [1..m] $ ist $ o_i\, $ eine Algebraische Operation, d.h. eine Funktion $ o_i: A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0) $.
Definition: Algebraische Struktur mit partiellen Operationen
Ein Tupel $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ heißt Algebraische Struktur mit partiellen Operationen, wenn:
- $ A\, $ ist eine nichtleere Menge.
- Für alle $ i \in [1..m] $ ist $ o_i\, $ eine (evtl. partielle) Algebraische Operation, d.h. eine (evtl. partielle) Funktion $ o_i: A^{n_i} \rightarrow_p A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0) $.
Definition: Algebraische Struktur mit partiellen inneren und äußeren Operationen
Ein Tupel $ \mathcal{A} = (A, B, o_1, ..., o_m) $ heißt Algebraische Struktur mit partiellen inneren und äußeren Operationen, wenn:
- $ A\, $ und $ B\, $ sind zwei nichtleere Mengen.
- Für alle $ i \in [1..m] $ ist $ o_i\, $ eine (evtl. partielle) Algebraische Operation, d.h. eine (evtl. partielle) Funktion $ o_i: A^{n_i}, B^{k_i} \rightarrow_p A\,\,\,(n_i, k_i \in \mathbb{N}_0) $. Wenn $ k_i = 0 $ ist, heißt $ o_i $ innere Operation, anderenfalls heißt $ o_i $ äußere Operation.
Bemerkungen
An Stelle von Algebraische Struktur sagt man häufig kur Algebra.
Die wesentliche Eigenschaft einer algebraischen Operation ist die Abgeschlossenheit: Jede algebraische Operation $ o_i\, $ einer algebraischen Struktur $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ bildet null, ein, zwei oder mehr Elemente der Grundmenge $ A\, $ von $ \mathcal{A}\, $ wieder auf ein Element dieser Grundmenge ab.
Gellert, Kästner (1979) merken an, dass bei der Definition des Begriffs Algebraische Struktur partielle algebraische Operationen zugelassen sein können. Aus diesem Grund wurde zuvor zusätzlich der Begriff Algebraische Struktur mit partiellen Operationen definiert.[1]
Asser (1980) fordert, dass eine Algebraische Struktur auch Konstanten ($ \in A $) und Relationen über $ A $ (d.h. Teilmengen von $ A^n $, wobei $ n \in \mathbb{N} $) enthalten darf.[2] Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen $ f: A^0 \rightarrow A $ als Konstanten aufgefasst werden können und auch Relationen durch Funktionen
oder partielle Funktionen
nachgebildet werden können.
Meyberg (1980) dagegen definiert Algebraische Strukturen allgemeiner. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge $ A $ auf Elemente der Grundmenge $ A $ abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art:
Aus diesem Grund wurde zuvor zusätzlich der Begriff Algebraische Struktur mit partiellen inneren und äußeren Operationen definiert. Allerdings lässt Meyberg nur zweistellige Funktionen in seiner Definition zu, d.h. bei „inneren Verknüpfungen“ muss $ n=2 $ gelten und bei äußeren $ m=n=2 $.[3]
Beispiele
- Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur: $ (\mathbb{N}, +, \cdot) $.
- Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation keine algebraische Struktur, sondern nur eine algebraische Struktur mit einer partiellen Operation: $ (\mathbb{N}, +, -, \cdot) $, da die Subtraktion ist lediglich eine partielle algebraische Operation ist.
Verschiedene Typen von algebraischen Strukturen
- Magma
- Halbring
- Verband
- Hyperkomplexes System = Algebra über einen Ring (oft auch nur: Algebra)
- Relationale Algebra
Quellen
- ↑
- ↑ Asser (1980): Günter Asser; Grundbegriffe der Mathematik – I. Mengen. Abbildungen. Natürliche Zahlen; Auflage: 4; Verlag: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften; Adresse: Berlin; 1980; Quellengüte: 5 (Buch)
- ↑ Meyberg (1980): Kurt Meyberg; Algebra – Teil 1; Auflage: 2; Verlag: Carl Hanser Verlag; Adresse: München, Wien; 1980; Quellengüte: 5 (Buch)
- Brockhaus (1986, A-APT): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 1, A-APT; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1101-4; 1986; Quellengüte: 5 (Buch)
