Metasprache: Unterschied zwischen den Versionen
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Satz zur Folge hat, findet man in dem Buch „Gödel, Escher, Bach“ von Douglas R. Hofstadter<ref>{{Quelle|Hofstadter, D.R. (1987): Gödel, Escher, Bach}}</ref>. | Satz zur Folge hat, findet man in dem Buch „Gödel, Escher, Bach“ von Douglas R. Hofstadter<ref>{{Quelle|Hofstadter, D.R. (1987): Gödel, Escher, Bach}}</ref>. | ||
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erkennen muss, dass der Satz (für ihn als Leser!) falsch sein '''muss'''. | |||
==Quellen der Sätze „GöU“ und „WAHR?“== | |||
Die ursprüngliche Version des Satzes „GöU“ lautete folgendermaßen | |||
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Version vom 16. August 2012, 12:10 Uhr
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Definition (Brockhaus)[1]
Metasprache, Sprache oder Symbolsystem zur wiss. Beschreibung einer Sprache oder eines Symbolsystems, z. B. eine formalisierte Sprache, in der die Beschreibung einer natürl. Sprache vorgenommen wird. Eine M[etasprache] kann ihrerseits wieder Objektsprache einer M[etasprache] [, der so genannten Metametasprache (Anm. von Kowarschick),] werden.
Definition (Brockhaus)[2]
Objektsprache, Sprachwissenschaft:
- natürl. Sprache, mit der auf einen außersprachl. Sachverhalt Bezug genommen wird;
- Sprache (natürl. Sprache, Fremdsprache, formalisierte Sprache), die in einer Metasprache beschrieben wird.
Definition (Gellert, Kästner)[3]
Metasprache: Sprache, in der über Aussagen einer anderen Sprache, der Objektsprache, gesprochen wird.
Definition (Kowarschick, analog zu [3])
Metametasprache: Sprache, in der über Aussagen einer Metasprache gesprochen wird.
Metametametasprache: Sprache, in der über Aussagen einer Metametasprache gesprochen wird.
Et cetera.
Anmerkungen und Beispiele[4]
Man kann in einer Sprache reden (z.B. in Deutsch) oder über eine Sprache (z.B. über Deutsch als englisch- oder auch als deutschsprachiger Germanist).
Amerikanischen Germanisten reden auf Englisch (Metasprache) über Deutsch (Objektsprache). Deutsche Germanisten reden auf Deutsch (Metasprache) über Deutsch (Objektsprache):
Allerdings kann die Vermischung von Sprachschichten mittels Selbstreferenz zu Paradoxien führen:
Wer das geschrieben hat, kann nicht fehlerfrei schreiben, obendrein auch nicht zählen. Oh, das ist dann der 3. Fehler. Dann enthält der Satz doch nur Rechtschreibe- und keine Zählfehler, also nur zwei Fehler, also doch einen Zählfehler, usw.[5][6]
Das Problem entsteht dadurch, dass der Satz „lediglich“ zwei syntaktische Fehler enthält (Syntax: Objektebene). Das Zählen der Fehler findet dagegen auf der semantischen Ebene statt (Semantik: Metaebene).
Weitere Beispiele:
Die selbstreferentielle Frage kann nicht korrekt (mit „Ja“ oder „Nein“ oder Ähnlichem) beantwortet werden, die selbstreferentielle Anweisung kann nicht korrekt befolgt werden. Auch hier findet wieder eine Vermischung der Sprachebenen statt.
Mathematische Logik
Laut Definition ist es Ziel der mathematischen Logik, das natürliche, umgangssprachliche Hantieren mit Aussagen und Folgerungen in einem mathematischn Formalisms, einem Kalkül, zu präzisieren, um zu einer rein mechanischen Ausführung von Beweisen zu gelangen. Um Probleme zu vermeiden, wie sie zuvor anhand von Beispielen aufgezeigt wurden, ist es in diesem Teilgebiet der Mathematik extrem wichtig zwischen Objet- und Metasprache zu unterscheiden.
In diesem Wiki werden folgende Sprachen verwendet:
| Sprache | Syntax | Semantik | In diesem Wiki |
|---|---|---|---|
| Objektsprache |
Ausdrücke und Terme bestehend aus ¬, ∧, ∨, →, ↔, ∃, ∀ etc. | Wahrheitswerte, formal definiert mittels einer Metasprace |
Objektsprache/Aussagelogik Objektsprache/Prädikatenlogik |
| Metasprache | Ausdrücke und Terme bestehend aus ~, &, ⇒, ⇔ etc. sowie deutsche Sätze |
informell beschrieben mittels der Metametasprache, sofern nicht bekannt |
Elementare Mengenlehre Metasprache/Aussagelogik Metasprache/Prädikatenlogik |
| Metametasprache etc. | Deutsch (Rechtschreibung und Grammatik) |
als bekannt vorasgesetzte Semantik der deutschen Sprache |
Gödelscher Unvollständigkeitssatz
Allerdings ist die Vermischung von Objekt- und Metaebene manchmal notwendig, um neue, bahnbrechende Einsichten zu erhalten.
Kurt Gödel hat mit seinem berühmten erstem Unvollständigkeitsatz bewiesen, dass es in jedem widerspruchsfreiem axiomatischen System, dass die Arithmetik der natürlichen Zahlen umfasst, wahre Ausagen gibt, die nicht mit Hilfe des Systems bewiesen werden können.[7]
Seine Beweisidee basiert ebenfalls auf einer Vermischung der Sprachebenen. Zunächst definiert er – auf Objektebene! – mit Hilfe der Arithmetik der natürlichen Zahlen einen Beweiskalkül G. Da transformiert er den Satz „Diese Aussage lässt sich innerhalb des Systems G nicht beweisen.“ in die Objektsprache. Diese in die Objektsprache transformierte Aussage kann tatsächlich nicht mit Hilfe des Systems G bewiesen werden, da dies sofort zu einem Widersprucht führen würde. Also gibt es eine wahre Aussage, die innerhalb von G nicht beweisen werden kann. Die Schlussfolgerung, dass es sich bei G um eine wahre Aussage handelt, findet auf der Metaebene, also außerhalb des Systems G statt.
Kurz gesagt: Gödel hat bewiesen, dass es kein Axiomensystem gibt, mit dem sich alle arithmetischen Wahrheiten beweisen lassen. Damit ist der Traum von David Hilbert, mit der Principia Mathematica die Arithmetik vollständig und widerspruchsfrei zu axiomatisieren, geplatzt.
Ein sehr anschauliche Version des Beweises von Gödel einschließlich vieler Implikationen, die dieser Satz zur Folge hat, findet man in dem Buch „Gödel, Escher, Bach“ von Douglas R. Hofstadter[8].
Die Idee hinter dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz kann man sich sehr schön an folgendem Beispiel klar machen:
TO BE DONE
- Quelle, Verweis auf Gödelschen Unvollständigkeitsatz
Bei „GöU“ handelt es sich um einen wahren Satz.
Wenn der Leser „GöU“ beweisen könnte, würde er beweisen, dass er „GöU“ nicht beweisen kann. Da dies einen Wiederspruch darstellt, kann der Leser „GöU“ nicht beweisen. Der Satz ist also wahr!
Damit gibt es also einen waren Satz, den das axiomatische System "Leser" nicht beweisen kann.
Auf dieselbe Weise kann der Autor dieses Artikels sogar den Satz
als wahr beweisen. (Man beachte, dass es sich beim vorangegangenen Satz um einen Satz auf Metametaebene handelt, da im Satz „WAHR?“ bereits Objekt- und Metaebene vermischt werden.)
Diese Tatsache ist für den Autor dieses Artikels besonders dramatisch, da er als Autor die Wahrheit des Satzes „WAHR?“ beweisen kann, aber als Leser, nachdem er den Beweis fertiggestellt hat und den Satz noch einmal auf Fehler hin durchliest, erkennen muss, dass der Satz (für ihn als Leser!) falsch sein muss.
Quellen der Sätze „GöU“ und „WAHR?“
Die ursprüngliche Version des Satzes „GöU“ lautete folgendermaßen
oder – in nicht ganz präziser deutscher Übersetzung –
Quellen
- ↑ Brockhaus (1991, MAG-MOD): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 14, MAG-MOD; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1114-6; 1991; Quellengüte: 5 (Buch)
- ↑ Brockhaus (1991, NOS-PER): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 16, MAG-MOD; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1116-2; 1991; Quellengüte: 5 (Buch)
- ↑ 3,0 3,1
- ↑ vgl. Güntzer, Schmidt, Kempf, Möller (1989): Ulrich Güntzer, Gunther Schmidt, Michael Kempf und Bernhard Möller; Mathematische Logik; Band: TUM-I-8900; Hochschule: Technische Universität München; 1989; Quellengüte: 4 (Skript)
- ↑ Güntzer, Schmidt, Kempf, Möller (1989): Ulrich Güntzer, Gunther Schmidt, Michael Kempf und Bernhard Möller; Mathematische Logik; Band: TUM-I-8900; Hochschule: Technische Universität München; 1989; Quellengüte: 4 (Skript), Seite 1-7
- ↑ vgl. auch Hofstadter, Dennett (1985): Douglas R. Hofstadter und Daniel C. Dennett; The Mind's I – Fantasies and Reflections on Self and Soul; Verlag: Bantam Dell; ISBN: 0553345842; Web-Link; 1985; Quellengüte: 5 (Buch), Chapter 17, Reflections
- ↑ Gödel (1931): Kurt Gödel; Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I; in: Monatshefte für Mathematik und Physik; Band: 38; Nummer: 1; Seite(n): 173-198; Verlag: Springer-Verlag GmbH; Adresse: Wien; Web-Link; 1931; Quellengüte: 5 (Artikel)
- ↑ Hofstadter (1987): Douglas R. Hofstadter; Gödel, Escher, Bach – ein Endloses Geflochtenes Band; Auflage: 10; Verlag: Klett-Cotta; ISBN: 3-6089-3037-X; 1987; Quellengüte: 5 (Buch)
- ↑ vgl.
