Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)
Voraussetzung
Die Dichtefunktionen $ f_{X,\alpha,\beta}\! $ und $ f_{X,\alpha,\beta,a,b}\! $ seien wie in Beta-Verteilung (normalisiert) bzw. Beta-Verteilung beschrieben definiert. Außerdem sollen die Parameter $ \alpha,\beta,a\! $ und $ b\! $ die dort genannten Voraussetzungen erfüllen. Es sei überdies $ d := b-a > 0\! $ die Länge des Intervalls $ [a,b]\! $.
Satz
Die Dichtefunktionen der allgemeinen Beta-Verteilungen können mit Hilfe zweier affiner Transformationen $ t_1(x) = \frac{x-a}{d} = \frac{1}{d}\cdot x - \frac{a}{d} $ und $ t_2(x) = \frac{1}{d}\cdot x $ aus den Dichtefunktionen der normalisierten Beta-Verteilungen erzeugt werden:
$ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) = t_2 \circ f_{X,\alpha,\beta} \circ t_1(x) = \frac{1}{d}\cdot f_{X,\alpha,\beta}\left(\frac{x-a}{d}\right) $ (vgl. Verkettung von Funktionen)
Veranschaulichung
Die Transformationsfunktion $ t_1\! $ bildet das Interval $ [0,1]\! $ auf das Interval $ [a,b]\! $ ab, die Transformationsfunktion $ t_2\! $ modifiziert die Höhe der transformierten Dichtefunktion so, dass die von ihr umfasste Fläche wieder 1 beträgt (vgl. Satz über Dichtefunktionen der standardisierten Beta-Verteilungen) :
$ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{d}\cdot f_{X,\alpha,\beta}\left(\frac{x-a}{d}\right)\, \mathrm{d}x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{X,\alpha,\beta, a, b}(x)\, \mathrm{d}x = 1 $ (Satz über Dichtefunktionen der allgemeinen Beta-Verteilungen)
Beweis
Die Bedingungen $ x < a\! $ und $ \frac{x-a}{d} < 0 $ sowie $ x > b\! $ und $ \frac{x-a}{d} > 1 $ sind äquivalent (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)).
In den zugehörigen Intervallen $ ]-\infty,a[ $ bzw. $ ]-\infty,0[ $ sowie $ ]b, \infty[ $ bzw. $ ]1, \infty[ $ sind die jeweiligen Dichtefunktionen konstant gleich 0. Und damit gilt die Assage des Satzes trivialerweise:
$ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) = 0 = f_{X,\alpha,\beta}\left(\frac{x-a}{d}\right) = \frac{1}{d}\cdot f_{X,\alpha,\beta}\left(\frac{x-a}{d}\right) $ (Def. der Dichtefunktionen der normalisierten und der allgemeinen Beta-Verteilung)
Für $ a \le x \le b $ bzw. die dazu äquivalente Bedingung $ 0 \le \frac{x-a}{d} \le 1 $ (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)) gilt:
| $ \frac{1}{d}\cdot f_{X,\alpha,\beta}\left(\frac{x-a}{d}\right) $ | ||
| = | $ \frac{1}{d}\cdot \frac{\left(\frac{x-a}{d}\right)^{\alpha -1}\left(1-\frac{x-a}{d}\right)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)} $ | (Definition der Dichtefunktion der normalisierten Beta-Verteilung) |
| = | $ \frac{1}{d}\cdot \frac{\left(\frac{x-a}{d}\right)^{\alpha -1}\left(\frac{b-a-x+a}{d}\right)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)} $ | |
| = | $ \frac{1}{d}\cdot \frac{\frac{(x-a)^{\alpha -1}}{d^{\alpha -1}}\frac{(b-x)^{\beta-1}}{d^{\beta-1}}}{\Beta(\alpha,\beta)} $ | |
| = | $ d^{-1}\cdot \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot d^{\alpha-1+\beta-1}} $ | |
| = | $ \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot d^{\alpha+\beta-1}} $ | |
| = | $ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x)\! $ | (Definition der Dichtefunktion der allgemeinen Beta-Verteilung) |
