Algebraische Struktur: Unterschied zwischen den Versionen
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* Für alle <math>i \in [1..m]</math> ist <math>o_i\,</math> eine (evtl. [[ | * Für alle <math>i \in [1..m]</math> ist <math>o_i\,</math> eine (evtl. [[Partielle Funktion|partielle]]) [[Algebraische Operation]], d.h. eine (evtl. partielle) [[Funktion]] <math>o_i: A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0)</math> oder <math>o_i: A^{n_i} \rightarrow_p A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0)</math>. | ||
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Aus diesem Grund wurde zuvor zusätzlich der Begriff '''Algebraische Struktur mit partiellen Operationen''' definiert.<ref>{{Quelle|Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik}}</ref> | Aus diesem Grund wurde zuvor zusätzlich der Begriff '''Algebraische Struktur mit partiellen Operationen''' definiert.<ref>{{Quelle|Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik}}</ref> | ||
[[Quelle::Asser (1980)]] fordert, dass eine | [[Quelle::Asser (1980)]] fordert, dass eine Algebraische Struktur auch [[Konstante]]n (<math>\in A</math>) und [[Relation]]en über <math>A</math> | ||
(d.h. Teilmengen von <math>A^n</math>, wobei <math>n \in \mathbb{N}</math>) enthalten darf. Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, | (d.h. Teilmengen von <math>A^n</math>, wobei <math>n \in \mathbb{N}</math>) enthalten darf.<ref>{{Quelle|Asser, G. (1980): Grundbegriffe der Mathematik}}</ref> | ||
da Funktionen <math>f: A^0 \rightarrow A</math> als Konstanten aufgefasst werden können und auch Relationen durch Funktionen | Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen <math>f: A^0 \rightarrow A</math> als Konstanten aufgefasst werden können und | ||
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[[Quelle::Meyberg (1980)]] dagegen definiert Algebraische Strukturen allgemeiner. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge <math>A</math> | [[Quelle::Meyberg (1980)]] dagegen definiert Algebraische Strukturen allgemeiner. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge <math>A</math> | ||
auf Elemente der Grundmenge <math>A</math> abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art <math> | auf Elemente der Grundmenge <math>A</math> abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art: | ||
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(Allerdings lässt Meyberg nur zweistellige Funktionen in seiner Definition zu, d.h. bei „inneren Verknüpfungen“ muss <math>n=2</math> gelten und bei äußeren <math>m=n=2</math>).<ref>{{Quelle|Meyberg, K. (1980): Algebra – Teil 1}}</ref> | (Allerdings lässt Meyberg nur zweistellige Funktionen in seiner Definition zu, d.h. bei „inneren Verknüpfungen“ muss <math>n=2</math> gelten und bei äußeren <math>m=n=2</math>).<ref>{{Quelle|Meyberg, K. (1980): Algebra – Teil 1}}</ref> | ||
Version vom 9. Juli 2012, 18:01 Uhr
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Definition: Algebraische Struktur (ohne partielle Operationen)
Ein Tupel $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ heißt Algebraische Struktur (genauer: Algebraische Struktur ohne partielle Operationen, kurz Algebra), wenn:
- $ A\, $ ist eine nichtleere Menge
- Für alle $ i \in [1..m] $ ist $ o_i\, $ eine Algebraische Operation, d.h. eine Funktion $ o_i: A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0) $.
Definition: Algebraische Struktur mit partiellen Operationen
Ein Tupel $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ heißt Algebraische Struktur mit partiellen Operationen, wenn:
- $ A\, $ ist eine nichtleere Menge.
- Für alle $ i \in [1..m] $ ist $ o_i\, $ eine (evtl. partielle) Algebraische Operation, d.h. eine (evtl. partielle) Funktion $ o_i: A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0) $ oder $ o_i: A^{n_i} \rightarrow_p A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0) $.
Bemerkungen
Die wesentliche Eigenschaft einer algebraischen Operation ist die Abgeschlossenheit: Jede algebraische Operation $ o_i\, $ einer algebraischen Struktur $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ bildet null, ein, zwei oder mehr Elemente der Grundmenge $ A\, $ von $ \mathcal{A}\, $ wieder auf ein Element dieser Grundmenge ab.
Gellert, Kästner (1979) merken an, dass bei der Definition des Begriffs Algebraische Struktur partielle algebraische Operationen zugelassen sein können. Aus diesem Grund wurde zuvor zusätzlich der Begriff Algebraische Struktur mit partiellen Operationen definiert.[1]
Asser (1980) fordert, dass eine Algebraische Struktur auch Konstanten ($ \in A $) und Relationen über $ A $ (d.h. Teilmengen von $ A^n $, wobei $ n \in \mathbb{N} $) enthalten darf.[2] Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen $ f: A^0 \rightarrow A $ als Konstanten aufgefasst werden können und auch Relationen durch Funktionen
$ r: A^n \rightarrow {a_1, a_2}, a_1, a_2 \in A, a_1 != a_2 $
oder partielle Funktionen
$ r: A^n \rightarrow_p {a}, a \in A $
nachgebildet werden können.
Meyberg (1980) dagegen definiert Algebraische Strukturen allgemeiner. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge $ A $ auf Elemente der Grundmenge $ A $ abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art:
$ f: B^m, A^n \rightarrow A\,\,\,(m_i,n_i\in \mathbb{N}_0) $
(Allerdings lässt Meyberg nur zweistellige Funktionen in seiner Definition zu, d.h. bei „inneren Verknüpfungen“ muss $ n=2 $ gelten und bei äußeren $ m=n=2 $).[3]
Beispiele
- Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur: $ (\mathbb{N}, +, \cdot) $.
- Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation keine algebraische Struktur, sondern nur eine algebraische Struktur mit einer partiellen Operation: $ (\mathbb{N}, +, -, \cdot) $, da die Subtraktion ist lediglich eine partielle algebraische Operation ist.
Verschiedene Typen von algebraischen Strukturen
- Magma
- Halbring
- Verband
- Hyperkomplexes System = Algebra über einen Ring (oft auch nur: Algebra)
- Relationale Algebra
Quellen
- ↑
- ↑ Asser (1980): Günter Asser; Grundbegriffe der Mathematik – I. Mengen. Abbildungen. Natürliche Zahlen; Auflage: 4; Verlag: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften; Adresse: Berlin; 1980; Quellengüte: 5 (Buch)
- ↑ Meyberg (1980): Kurt Meyberg; Algebra – Teil 1; Auflage: 2; Verlag: Carl Hanser Verlag; Adresse: München, Wien; 1980; Quellengüte: 5 (Buch)
- Brockhaus (1986, A-APT): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 1, A-APT; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1101-4; 1986; Quellengüte: 5 (Buch)
