Beta-Verteilung: Unterschied zwischen den Versionen

aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Keine Bearbeitungszusammenfassung
 
(39 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
=Definition=
{{Qualität
|correctness        = 5
|extent              = 3
|numberOfReferences  = 4
|qualityOfReferences = 5
|conformance        = 4
}}
==Definition==


Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X</math> heißt '''beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X = \Beta V(\alpha,\beta,a,b)\;</math> heißt '''beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
die [[Dichtefunktion]]  
die [[Dichtefunktion]]  


<math>f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x)=
<div class="formula">
<math>f_X(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) :=
         \begin{cases}  
         \begin{cases}  
           \frac{(x-a)^{\alpha -1}\cdot (b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\  
           \frac{(x-a)^{\alpha -1}\cdot (b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\  
Zeile 10: Zeile 18:
         \end{cases}           
         \end{cases}           
</math>
</math>
</div>
beschrieben werden kann. <math>\Beta(\alpha,\beta)</math> ist dabei die [[Beta-Funktion]].


beschrieben werden kann. <math>\Beta(\alpha,\beta)\!</math> ist dabei die [[Beta-Funktion]].
<math>\alpha,\,\beta,\,a</math> und  <math>b</math> heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.


<math>\alpha\,\beta,\,a</math> und  <math>b\,</math> heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.
==Eigenschaften einer beta-verteilten Zufallsgröße==
 
=Eigenschaften einer beta-verteilten Zufallsgröße=


{{Wahrscheinlichkeitsverteilung |
{{Wahrscheinlichkeitsverteilung |
Zeile 23: Zeile 31:
   cdf_image  =|
   cdf_image  =|


   parameters =<math>\alpha \in ]0,\infty[</math><br><math>\beta \in ]0,\infty[</math><br><math>a \in ]-\infty,\infty[</math><br><math>b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a</math><br><br><math>d := b-a > 0\!</math>|
   parameters =<math>\alpha \in ]0,\infty[</math><br><math>\beta \in ]0,\infty[</math><br><math>a \in ]-\infty,\infty[</math><br><math>b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a</math><br><br><math>d := b-a > 0</math>|
   proof_parameters =(vgl. Parameter der <br>[[Dreiecksverteilung]])|
   annotations_parameters =(vgl. Parameter der <br>[[Beta-Verteilung (standardisiert)|standardisierten<br/> Beta-Verteilung]] )|


   pdf        =<math>
   pdf        =<math>
                 f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) =
                 f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) =
                   \begin{cases}  
                   \begin{cases}  
                     \frac{(x-a)^{\alpha -1}\cdot (b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\  
                     \frac{{(x-a)}^{\alpha -1}\cdot {(b-x)}^{\beta-1}}{{\Beta(\alpha,\beta)}\cdot d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\  
                     0                          & \mbox{sonst }
                     0                          & \mbox{sonst }
                   \end{cases}                 
                   \end{cases}                 
               </math>|
               </math>|
  proof_pdf =|


   continuity = <math>f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\!</math>|
   continuity = <math>f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[</math>|
   proof_continuity =|
 
   support    = <math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ </math>|


   support    =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \!</math>|
   cdf        =<math>F_X(x) =\int_{-\infty}^x \! f_X(t) \, \mathrm{d} t</math> ist nicht elementar darstellbar|
  proof_support =|
  cdf        =|
  proof_cdf =|


   mode      =<math>c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta-2}</math><br>
   mode      = <math>c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta-2}</math><br>
<math>\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta \ge 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1\!</math>|
<math>\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta \ge 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1</math>|
  proof_mode =|


   mean      =<math>\mu(X) = \frac{b\alpha+ a\beta}{\alpha+\beta}</math>|
   mean      = <math>\mu(X) = \frac{b\alpha+ a\beta}{\alpha+\beta}</math>|
  proof_mean =|


   quartile  =|
   quartile  =|
  proof_quartile =|


   median       =|
   median     =|
  proof_median =|


   variance  =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{d^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math>|
   variance  =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{d^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math>|
  proof_variance =|
  sigma      =<math>\sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)}\sqrt{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}}</math>|
  proof_sigma =|
  skewness      =|
  proof_skewness =|
  kurtosis      =|
  proof_kurtosis =|
  entropy      =|
  proof_entropy =|


   moment      =|
   sigma      =<math>\sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)} \sqrt{{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}}}</math>|
  proof_moment =|


  centralmoment      =|
  proof_centralmoment =|


  mgf      =|
  proof_mgf =|
  char      =|
  proof_char =|
}}
}}


=Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung=
==Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung==


In [[Beta-Verteilung (standardisiert)]] wird eine speziellere Dichtefunktion <math>f_{X,\alpha,\beta}\!</math> definiert.
In [[Beta-Verteilung (standardisiert)]] wird eine speziellere Dichtefunktion <math>f_{\Beta V(\alpha,\beta)}</math> definiert.
Wie hängen die hier definierte allgemeiner Form und die dort definierte spezieller Form zusammen?
Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?


Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung (standardisiert)|standardisierten Beta-Verteilungen]]
Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung (standardisiert)|standardisierten Beta-Verteilungen]]
auch eine Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung|allgemeinen Beta-Verteilungen]] ist:
auch eine Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung|allgemeinen Beta-Verteilungen]] ist:


<math>f_{X,\alpha,\beta}(x) = f_{X,\alpha,\beta,0,1}(x) \!</math>  
<div class="formula"><math>f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,0,1)}(x) \!</math></div>  


Umgekehrt können alle
Umgekehrt können alle
Dichtefunktionen [[Beta-Verteilung|allgemeinen Beta-Verteilungen]] durch Linear-Transformationen aus entsprechenden  
Dichtefunktionen [[Beta-Verteilung|allgemeinen Beta-Verteilungen]] durch [[Linear-Transformation]]en aus entsprechenden  
Dichtefunktionen der [[Beta-Verteilung (standardisiert)|standardisierten Beta-Verteilungen]] erzeugt werden:
Dichtefunktionen der [[Beta-Verteilung (standardisiert)|standardisierten Beta-Verteilungen]] erzeugt werden:


<math>  f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x)  
<div class="formula">
      = \frac{1}{b-a}\cdot f_{X,\alpha,\beta}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
<math>  f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)  
</math>
  = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
  = \frac{1}{d}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)
</math></div>
 
Und damit gilt auch die Beziehung:
 
<div class="formula">
<math>  F_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)
    = F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
    = F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)
</math></div>


([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]])
([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]])


=Quellen=
==Quellen==
*[http://www.uni-leipzig.de/wifa/emp/orschuhr/Lehre/SMFormeln.pdf Formelsammlung zur Vorlesung Standardmethoden des Operations Research, Roland Schuhr, 2005]
#{{Quelle|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution Wikipedia (en): Beta distribution]
#{{Quelle|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}}
*[http://statwiki.wiwi.hu-berlin.de/index.php/Beta-Verteilung Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung]
#[[WikipediaEn: Beta distribution]]
#[http://statwiki.wiwi.hu-berlin.de/index.php/Beta-Verteilung Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung]
 
==Siehe auch==
# [http://www.brighton-webs.co.uk/distributions/beta.asp Brighton Webs Ltd.: Beta Distribution]
# {{Vgl|Dreiecksverteilung}}


[[Kategorie:Glossar]]
[[Kategorie:Mathematische Definition]]
[[Kategorie:Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Projektmanagement]]
[[Kategorie:Projektmanagement]]
[[en:Beta distribution]]
[[en:Beta distribution]]

Aktuelle Version vom 23. April 2018, 15:20 Uhr

Dieser Artikel erfüllt die GlossarWiki-Qualitätsanforderungen nur teilweise:

Korrektheit: 5
(vollständig überprüft) 		Umfang: 3
(einige wichtige Fakten fehlen) 		Quellenangaben: 4
(fast vollständig vorhanden) 		Quellenarten: 5
(ausgezeichnet) 		Konformität: 4
(sehr gut)

Definition

Eine stetige Zufallsgröße $ X = \Beta V(\alpha,\beta,a,b)\; $ heißt beta-verteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

$ f_X(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) := \begin{cases} \frac{(x-a)^{\alpha -1}\cdot (b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $

beschrieben werden kann. $ \Beta(\alpha,\beta) $ ist dabei die Beta-Funktion.

$ \alpha,\,\beta,\,a $ und $ b $ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.

Eigenschaften einer beta-verteilten Zufallsgröße

Parameter
(vgl. Parameter der
standardisierten
Beta-Verteilung )		$ \alpha \in ]0,\infty[ $
$ \beta \in ]0,\infty[ $
$ a \in ]-\infty,\infty[ $
$ b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a $

$ d := b-a > 0 $
Dichtefunktion
$ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) = \begin{cases} \frac{{(x-a)}^{\alpha -1}\cdot {(b-x)}^{\beta-1}}{{\Beta(\alpha,\beta)}\cdot d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
Stetigkeit
$ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[ $
Träger
$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ $
Verteilungsfunktion
$ F_X(x) =\int_{-\infty}^x \! f_X(t) \, \mathrm{d} t $ ist nicht elementar darstellbar
Modus
$ c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta-2} $
$ \operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta \ge 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1 $
Erwartungswert
$ \mu(X) = \frac{b\alpha+ a\beta}{\alpha+\beta} $
Varianz
$ \operatorname{Var}(X) = \frac{d^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} $
Standardabweichung
$ \sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)} \sqrt{{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}}} $

Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung

In Beta-Verteilung (standardisiert) wird eine speziellere Dichtefunktion $ f_{\Beta V(\alpha,\beta)} $ definiert. Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer standardisierten Beta-Verteilungen auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Beta-Verteilungen ist:

$ f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,0,1)}(x) \! $

Umgekehrt können alle Dichtefunktionen allgemeinen Beta-Verteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der standardisierten Beta-Verteilungen erzeugt werden:

$ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = \frac{1}{d}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right) $

Und damit gilt auch die Beziehung:

$ F_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) = F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right) $

(Beweis der zweiten Aussage)

Quellen

  1. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
  2. Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
  3. WikipediaEn: Beta distribution
  4. Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung

Siehe auch

  1. Brighton Webs Ltd.: Beta Distribution
  2. Dreiecksverteilung
Abgerufen von „https://glossar.hs-augsburg.de/w/index.php?title=Beta-Verteilung&oldid=44479“