Beta-Verteilung (standardisiert)

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Definition

Eine stetige Zufallsgröße $ X = \Beta V(\alpha,\beta)\; $ heißt standardisiert beta-verteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

$ f_X = f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x)= \begin{cases} \frac{x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $

beschrieben werden kann. $ \Beta(\alpha,\beta)\! $ ist dabei die Beta-Funktion.

$ \alpha\, $ und $ \beta\, $ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.

Eigenschaften einer standardisiert beta-verteilten Zufallsgröße

Parameter	$ \alpha \in ]0,\infty[ $ $ \beta \in ]0,\infty[ $
Dichtefunktion	$ f_X(x) := \begin{cases} \frac{x^{\alpha -1}\cdot(1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1\\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
Stetigkeit	$ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\! $
Träger	$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \! $
Modus	$ c := \frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} $ $ \operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1\! $
Erwartungswert	$ \mu(X) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} $
Varianz	$ \operatorname{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} $
Standardabweichung	$ \sigma(X) = \frac{1}{(\alpha+\beta)}\sqrt{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}} $

Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung

In Beta-Verteilung wird eine allgemeinere Dichtefunktion $ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}\! $ definiert. Wie hängen die hier definierte spezielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer standardisierten Beta-Verteilungen auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Beta-Verteilungen ist:

$ f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,0,1)}(x) \! $

Umgekehrt können alle Dichtefunktionen allgemeinen Beta-Verteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der standardisierten Beta-Verteilungen erzeugt werden:

$ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $

(Beweis der zweiten Aussage)

Quellen

1. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
2. Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
3. WikipediaEn: Beta distribution
4. Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung
5. xycoon: Beta Distribution