Geordnetes Paar

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Definition (nach Kowarschick)

Der Term $[a,b]$, wobei $a$ und $b$ zwei Mengen oder Klassen sind, heißt geordnetes Paar oder $2$-Tupel, wenn für den Operator $[\cdot,\cdot]$ das Peanosche Paaraxiom erfüllt ist:

$\forall a, b, c, d: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a = c \wedge b = d$

Projektion

Für geordnete Paare werden folgende beiden Projektions-Operationen definiert, um das erste bzw. das zweite Element des Paars zu extrahieren:

$\pi_1([a,b]) := a$ (das erste Element des Paars)

$\pi_2([a,b]) := b$ (das zweite Element des Paars)

Anmerkungen

Der Paarbegriff findet sich bereits in der 1898 erschienene Arbeit „Arithmetices principia: nova methodo“ von Giuseppe Peano. Kurz vor Drucklegung des Buches „Formulaire de Mathématiques“, das das Paaraxiom enthält, publiziert Peano laut Hubert Kennedy eine kleine Studie mit Ergebnissen seiner Studien über die Herabsetzung der Zahl der Grundbegriffe auf ein Minimum.

1914 gelang es Norbert Wiener und Felix Hausdorff unabhängig voneinander, geordnete Paare durch Mengen auszudrücken.)

$[a,b] := \{\{a,\boldsymbol{1}\},\{b,\boldsymbol{2}\}\}$ (Mengenpaare, 1914 entdeckt von Hausdorff)

$[a,b] := \{\{a\},\{a,b\}\}$ (Mengenpaare, 1921 entdeckt von Kuratowski)

$[a,b] := \{\{\{x\}\}\,:\, x \in a\} \,\cup\, \{\mathcal P(x)\,:\, x \in b\}$ (Klassenpaare, Schmidt)

Im Falle der ersten Definition müssen $a$ und $b$ Mengen sein ($\rm{Mg}(a) \wedge \rm{Mg}(b)$, siehe Klasse), damit das Paaraxiom erfüllt ist. Im Falle der zweiten Definition ist das Paaraxiom für beliebige Klassen $a$ und $b$ erfüllt.

Es gibt noch diverse weitere Möglichkeiten, Mengen- oder Klassenpaare zu definieren.

In der von McCarthy entwickelten Programmiersprache LISP werden geordnete Paare in der Form $(a \cdot b)$ (bzw. (a . b) in ASCII-Schreibweise) notiert und mit der Funktion $\rm{cons}$ erzeugt. Die Operationen $\pi_1$ und $\pi_2$ zur Extraktion der Elmente heißen bei McCarthy $\rm{car}$ und $\rm{cdr}$.

Reihenfolge der Elemente

Geordnete Paare sind im Gegensatz zu Mengen tatsächlich geordnet:

$\forall a, b: \{a,b\} = \{b,a\}$ (Bei Paarmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle, ...)

$\forall a, b: [a,b] = [b,a] \leftrightarrow a = b$ (... bei Paaren wegen des „Paaraxioms“ dagegen schon.)

In einem mengebasiertes Axiomen-System (wie es z.B. der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zu Grunde liegt) ist die vorangehende Formel sowohl für Mengenpaare, als auch für Klassenpaare unbeschränkt gültig, da in diesem Fall $\forall$ als „Für alle Mengen innerhalb des Mengenuniversums“ interpretiert wird.

In einem klassenbasierten Axiomen-System (wie es z.B. der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre zu Grunde liegt) ist die Formel allerdings nur im Falle von Klassenpaaren gültig, da hier $\forall$ als „Für alle Klassen, d.h. für alle Mengen und Unmengen innerhalb des Klassenuniversums“ interpretiert wird.. Bei Mengenpaaren gilt lediglich:

$\forall a, b: \rm{Mg}(a) \wedge \rm{Mg}(b) \rightarrow ([a,b] = [b,a] \leftrightarrow a = b)$

Für Unmengen ($\rm{UMg}$, siehe Klasse) ist ein Mengenpaar nämlich stets gleich der Allklasse $\mathcal{V}$ oder stets gleich der leeren Menge, unabhängig von der Reihenfolge der Elemente:

$\forall a, b: \rm{UMg}(a) \vee \rm{UMg}(b) \rightarrow ([a,b] = \{a,\{a,b\}\} = \mathcal{V} \rm{bzw} \emptyset = \{b,\{b,a\}\} = [b,a])$

Grund: Eine Unmenge kann nicht Element einer Menge sein. Abhängig von der Art, wie $\{a\}$ definiert ist, gilt daher entweder $\forall \rm{UMg}(a): \{a\} = \mathcal{V}$ oder $\forall \rm{UMg}(a): \{a\} = \emptyset$.

Fazit: Im Falle eines klassenbasierten Axiomen-Systems sollte man eine Klassenpaar-Definition an Stelle einer Mengenpaar-Definition verwenden.