Universum (Mathematik)

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Ein mögliches Universum der Mengenlehre

In der Mathematik und insbesondere in der Logik und der Mengenlehre bezeichnet man die Gesamtheit aller Objekte, für die Aussagen gemacht werden, häufig als Universum. Der Wahrheitswert einer Aussage hängt immer vom zugrundeliegenden Universum ab. Zum Beispiel ist die Aussage „Es gibt ein kleinstes Element“ für die [[natülichen Zahlen] wahr und für die ganzen Zahlen falsch.

Im angelsächsischem Sprachraum haben sich die Begriffe universe of discourse (Diskursuniversum), domain of discourse (Diskursbereich, Diskursdomäne) oder auch universal set (Universalmenge) eingebürgert.

In einem Universum gibt es meist unterchiedliche Arten von Objekten. Beispielsweise beinhaltet das Universum einer geometrischen Theorie üblicherweise Punkte, Geraden und Ebenen. Auch in einem Universum der Mengenlehre werden zumeist zwei Arten von Objekten unterschieden

Individuen und Container. Container (Klassen) fassen beliebig viele Individuen (z. B. Urelemente) zu einer Einheit zusammen. 

Spezielle Klassen (Mengen) sind ebenfalls Individuen und können damit auch in Klassen enthalten sein.

Definition „Universe“ (De Morgan (1846), S. 380)

Datei:DeMorgan 1846 Universe p380.png

Die vermutlich erste Definition des Begriffes „Universum“ für die Logik.

Writers on logic, it is true, do not find elbow-room enough in anything less than the whole universe of possible conceptions; but the universe of a particular assertion or argument may be limited in any matter expressed or understood. And this without limitation or alteration of any one rule of logic.

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By not dwelling upon this power of making what we may properly (inventing a new technical name) call the universe of a proposition, or of a name, matter or express definition, all rules remaining the same, writers on logic deprive themselves of much useful illustration.

Übersetzung (W. Kowarschick)
Es ist wahr, dass Logik-Autoren nicht genug Ellbogenfreiheit in weniger als dem gesamten Universum der möglichen Konzepte vorfinden; aber das Universum einer bestimmten Aussage oder eines bestimmten Arguments kann auf jede Art eingeschränkt werden, die ausgedrückt oder verstanden werden kann. Und das ohne Einschränkung oder Änderung irgendeiner logischen Regel.

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Wenn Logik-Autoren nicht näher auf dieses Potential eingehen, mittels einer inhaltlichen oder expliziten Definition das zu machen, was wir angemessenerweise (indem wir einen neuen technischen Begriff erfinden) das Universum einer Aussage oder eines Namens nennen, wobei alle Regeln dieselben bleiben, berauben sie sich selbst einer sehr nützlichen Darstellungsmöglichkeit.

Definition „Universe of Discourse“ (Boole (1854))

George Boole hat den heute üblichen Begriff “Universe of Discourse” geprägt.

In every discourse, whether of the mind conversing with its own thoughts, or of the individual in his intercourse with others, there is an assumed or expressed limit within which the subjects of its operation are confined. The most unfettered discourse is that in which the words we use are understood in the widest possible application, and for them the limits of discourse are co-extensive with those of the universe itself. But more usually we confine ourselves to a less spacious field. Sometimes, in discoursing of men we imply (without expressing the limitation) that it is of men only under certain circumstances and conditions that we speak, as of civilized men, or of men in the vigour of life, or of men under some other condition or relation. Now, whatever may be the extent of the field within which all the objects of our discourse are found, that field may properly be termed the universe of discourse.

Furthermore, this universe of discourse is in the strictest sense the ultimate subject of the discourse.

Übersetzung (W. Kowarschick)
In jedem Diskurs, ob vom Gehirn, das mit seinen eigenen Gedanken spricht, oder vom Individuum im Umgang mit anderen, gibt es eine angenommene oder formulierte Begrenzung, von welcher die Themen dieses Vorgangs beschränkt werden. Der freieste Diskurs ist derjenige, in dem die Wörter, die wir verwenden, im weitest möglichen Einsatzbereich verstanden werden, und für diese sind die Grenzen des Diskurses inhaltsgleich mit denen des Univerums selbst. Üblicherweise beschränken wir uns aber selbst auf ein weniger ausgedehntes Feld. Manchmal, wenn wir über Menschen sprechen, implizieren wir (ohne die Beschränkung zu äußern), dass es nur um Menschen unter bestimmten Umständen und Bedingungen geht, wie um zivilisierte Menschen oder um Menschen auf der Höhe ihrer Schaffenskraft um Menschen unter irgendwelchen anderen Bedingungen oder Beziehungen. Unabhängig davon, welchen Umfang das Gebiet hat, in welchem alle Objekte unseres Diskurses gefunden werden, dieses Feld sollte angemessenerweise Diskursuniversum genannt werden.

Darüber hinaus ist dieses Diskursuniverum im strengsten Sinne das ulimative Thema des Diskurses.

TO BE DONE

Definition „Universe of Discourse“ (Peirce, Ladd-Franklin (1902))

Die Definition von Charles S. Peirce und Christine Ladd-Franklin im Dictionary of Philosophy and Psychology, Volume 2

Universe (in logic) of discourse, of a proposition, &c. In every proposition the circumstances of its enunciation show that it refers to some collection of individuals or of possibilities, which cannot be adequately described, but can only be indicated as something familiar to both speaker and auditor. At one time it may be the physical universe of sense (1) [The collection of all material things] , at another it may be the imaginary “world” of some play or novel, at another a range of possibilities.

Übersetzung (W. Kowarschick)
Diskursuniversum (in der Logik), Universum eines Lehrsatzes etc. Für jeden Lehrsatz zeigen die Umstände seiner Enunziation [Äußerung, Aussage; W. Kowarschick], dass er auf irgendeine Sammlung von Individuen oder Möglichkeiten verweist, die nicht adäquat beschrieben, sondern nur als etwas angegeben werden kann, das sowohl dem Sprecher, als auch dem Autor bekannt ist. Zu einem Zeitpunkt kann es sich um ein Physisches Universum im Sinne von (1) [Die Sammlung aller materiellen Dinge] handeln, zu einem anderen Zeitpunkt kann es die imaginäre „Welt“ irgendeines Spiels oder einer Novelle sein, wann anders eine Reihe von Möglichkeiten.

Anmerkungen von Peirce und Ladd-Franklin

The term was introduced by De Morgan in 1846 (Cambridge Philosophical Transactions, viii, 380) but De Morgan never showed that he fully comprehended it.

'Übersetzung (W. Kowarschick) Der Begriff wurde 1846 von De Morgan eingeführt (Cambridge Philosophical Transactions, viii, 380), aber De Morgan hat niemals gezeigt, dass er ihn vollkommen verstanden hat.

Definition „Universe of Discourse“ (Menne (1973), S. 77)

Prädikatenkalkül und Klassenkalkül: Bereich der Dinge, die überhaupt in Betracht kommen

Definition „Universe of Discourse“ (Langenscheidt Online-Wörterbuch, S. 77)

Übersetzung „Englisch → Deutsch“: in logic: geistiger Raum einer Abhandlung

Siehe auch

• Komprehension