Universum (Mathematik)

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Struktur eines Universums der Mengenlehre (vgl. Komprehension)

In der Mathematik und insbesondere in der Logik und der Mengenlehre bezeichnet man die Gesamtheit aller Objekte, für die Aussagen gemacht werden, häufig als Universum. Der Wahrheitswert einer derartigen Aussage hängt immer vom zugrundeliegenden Universum ab.

Im angelsächsischem Sprachraum haben sich die Begriffe universe of discourse (Diskursuniversum), domain of discourse (Diskursbereich, Diskursdomäne) oder auch universal set (Universalmenge) eingebürgert.

In einem Universum gibt es meist unterchiedliche Arten von Objekten. Beispielsweise beinhaltet das Universum einer geometrischen Theorie üblicherweise Punkte, Geraden und Ebenen. Auch in einem Universum der Mengenlehre werden mehrere Arten von Objekten unterschieden. Es gibt zumindest Individuen und Container. Container (z. B. Klassen) fassen beliebig viele Individuen (z. B. Urelemente) zu einer Einheit zusammen. Spezielle Container (z. B. Mengen) sind ihrerseits Individuen und können damit auch in Containern enthalten sein. Falls genügend Mengen und insbesondere die leere Menge existieren, kann man auf Individuen auch verzichten. Auf echte Klassen, d. h. auf Klassen, die keine Individuen sind, kann man dagegen nicht verzichten, da man ansonsten eine inkonsistente Mengenlehre erhält (siehe z. B. Russelsches Paradoxon).

Definition „Universe“ (De Morgan (1846), S. 380)

Datei:DeMorgan 1846 Universe p380.png

Die vermutlich erste Definition des Begriffes „Universum“ für die Logik

Writers on logic, it is true, do not find elbow-room enough in anything less than the whole universe of possible conceptions; but the universe of a particular assertion or argument may be limited in any matter expressed or understood. And this without limitation or alteration of any one rule of logic.

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By not dwelling upon this power of making what we may properly (inventing a new technical name) call the universe of a proposition, or of a name, matter or express definition, all rules remaining the same, writers on logic deprive themselves of much useful illustration.

Übersetzung (W. Kowarschick)
Es ist wahr, dass Logik-Autoren nicht genug Ellbogenfreiheit in weniger als dem gesamten Universum aller möglichen Konzepte vorfinden; aber das Universum einer bestimmten Aussage oder eines bestimmten Arguments kann auf jede Art eingeschränkt werden, die ausgedrückt oder verstanden werden kann. Und das ohne Einschränkung oder Änderung irgendeiner logischen Regel.

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Wenn Logik-Autoren nicht näher auf dieses Potential eingehen, mittels einer inhaltlichen oder expliziten Definition das zu machen, was wir angemessenerweise (indem wir einen neuen technischen Begriff erfinden) das Universum einer Aussage oder eines Namens nennen, wobei alle Regeln dieselben bleiben, berauben sie sich selbst einer sehr nützlichen Darstellungsmöglichkeit.

Definition „Universe of Discourse“ (Peirce, Ladd-Franklin (1902))

Die Definition von Charles S. Peirce und Christine Ladd-Franklin im Dictionary of Philosophy and Psychology, Volume 2

Universe (in logic) of discourse, of a proposition, &c. In every proposition the circumstances of its enunciation show that it refers to some collection of individuals or of possibilities, which cannot be adequately described, but can only be indicated as something familiar to both speaker and auditor. At one time it may be the physical universe of sense (1) [The collection of all material things] , at another it may be the imaginary “world” of some play or novel, at another a range of possibilities. Übersetzung (W. Kowarschick)
Diskursuniversum (in der Logik), Universum eines Lehrsatzes etc. Für jeden Lehrsatz zeigen die Umstände seiner Enunziation [Äußerung, Aussage; W. Kowarschick], dass er auf irgendeine Sammlung von Individuen oder Möglichkeiten verweist, die nicht adäquat beschrieben, sondern nur als etwas angegeben werden kann, das sowohl dem Sprecher, als auch dem Autor bekannt ist. Zu einem Zeitpunkt kann es sich um ein Physisches Universum im Sinne von (1) [Die Sammlung aller materiellen Dinge] handeln, zu einem anderen Zeitpunkt kann es die imaginäre „Welt“ irgendeines Spiels oder einer Novelle sein, wann anders eine Reihe von Möglichkeiten.

Anmerkungen von Peirce und Ladd-Franklin

The term was introduced by De Morgan in 1846 (Cambridge Philosophical Transactions, viii, 380) but De Morgan never showed that he fully comprehended it.

Definition „Universe of Discourse“ (Menne (1973), S. 77)

Prädikatenkalkül und Klassenkalkül: Bereich der Dinge, die überhaupt in Betracht kommen

Definition „Universe of Discourse“ (Langenscheidt Online-Wörterbuch, S. 77)

Übersetzung „Englisch → Deutsch“: in logic: geistiger Raum einer Abhandlung

Siehe auch

• Komprehension