Verkettung von Funktionen

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Voraussetzung

Es seien $f$ und $g$ zwei Funktionen mit den Definitionsbereichen $D(f)$ und $D(g)$ und den Wertebereichen $W(f)$ und $W(g)$.

Es sei überdies die Wertemenge $f$ eine Teilmenge der Definitionsmenge von $g$: $W(f) \subseteq D(g)$.

Definition

Die Verkettung $g \circ f$ der Funktionen $f$ und $g$ ist diejenige Funktion, die sich durch die Hintereinanderausführung von $ f\! $ und $ g\! $ ergibt:

$\forall x \in D(f): g \circ f(x) := g(f(x))$

Eigenschaften

Unter den gegebenen Voraussetzungen ist $g \circ f$ stets eine Funktion.

Der Definitionsbereich $D(g \circ f)$ der Verkettung ist gleich dem Definitionsbereich $D(f)$ der Funktion $f$: $D(g \circ f) = D(f)$.

Der Wertebereich $W(g \circ f)$ der Verkettung ist eine (echte oder unechte) Teilmenge des Wertebereichs $W(g)$ der Funktion $g$: $W(g \circ f) = \{g(f(x))\ |\ x \in D(f)\} \subseteq D(g)$.

Beweis

fehlt noch

Quellen

1. Gellert, Kästner, Neuber (1979): Lexikon der Mathematik; Hrsg.: Walter Gellert, Herbert Kästner und Siegfried Neuber; Auflage: 2; Verlag: VEB Bibliographisches Institut Leipzig; Adresse: Leipzig; 1979; Quellengüte: 5 (Buch)
2. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)