Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Dreiecksverteilung (Satz)
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Voraussetzung
Es seien: $ a \in ]-\infty,\infty[ $, $ b \in ]a,\infty[ $ und $ c \in ]a,b[ $.
Es sei überdies $ d := b-a > 0\! $ die Länge des Intervalls $ [a,b]\! $.
Die Dichtefunktionen $ f_{D(a,b,c)}\! $ und $ f_{D((c-a)/d)}\! $ seien wie in Dreiecksverteilung bzw. Standard-Dreiecksverteilung beschrieben definiert.
Aufgrund der obigen Voraussetzungen erfüllen die Parameter $ a,b,c\! $ die in der Definition der Dreiecksverteilung genannten Voraussetzungen.
Ebenso erfüllt $ (c-a)/d\! $ die in der Definition der Standard-Dreickesverteilung geforderte Bedingung $ (c-a)/d \in ]0,1[\! $, da $ c-a > 0\! $, $ d = b-a > 0\! $ und $ c-a < b-a\! $.
Satz
Die Dichtefunktionen der Dreiecksverteilungen können mit Hilfe zweier affiner Transformationen $ t_1(x) = \frac{x-a}{d} = \frac{1}{d}\cdot x - \frac{a}{d} $ und $ t_2(x) = \frac{1}{d}\cdot x $ aus den Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksverteilung erzeugt werden:
$ f_{D(a,b,c)}(x) = t_2 \circ f_{D(a,b,c)} \circ t_1(x) = \frac{1}{d}\cdot f_{D((c-a)/d)}\left(\frac{x-a}{d}\right) $ (vgl. Verkettung von Funktionen)
Veranschaulichung
Die Transformationsfunktion $ t_1\! $ bildet das Interval $ [0,1]\! $ auf das Interval $ [a,b]\! $ ab, die Transformationsfunktion $ t_2\! $ modifiziert die Höhe der transformierten Dichtefunktion so, dass die von ihr umfasste Fläche wieder 1 beträgt (vgl. Satz über Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksfunktion) :
$ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{d}\cdot f_{D((c-a)/d)}\left(\frac{x-a}{d}\right)\, \mathrm{d}x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{D(a,b,c)}(x)\, \mathrm{d}x = 1 $ (Satz über Dichtefunktionen der allgemeinen Beta-Verteilungen)
Beweis
Die Bedingungen $ x < a\! $ und $ \frac{x-a}{d} < 0 $ sowie $ x > b\! $ und $ \frac{x-a}{d} > 1 $ sind äquivalent (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)).
In den zugehörigen Intervallen $ ]-\infty,a[ $ bzw. $ ]-\infty,0[ $ sowie $ ]b, \infty[ $ bzw. $ ]1, \infty[ $ sind die jeweiligen Dichtefunktionen konstant gleich 0. Und damit gilt die Aussage des Satzes trivialerweise:
$ f_{D(a,b,c)}(x) = 0 = f_{D((c-a)/d)}\left(\frac{x-a}{d}\right) = \frac{1}{d}\cdot f_{D((c-a)/d)}\left(\frac{x-a}{d}\right) $ (Def. der Dichtefunktionen der standardisierten und der allgemeinen Dreiecksverteilung)
Für $ a \le x \le c $ bzw. die dazu äquivalente Bedingung $ 0 \le \frac{x-a}{d} \le \frac{c-a}{d} $ (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)) gilt:
| $ \frac{1}{d}\cdot f_{D((c-a)/d)}\left(\frac{x-a}{d}\right) $ | ||
| = | $ \frac{1}{d}\cdot 2\cdot\frac{\frac{x-a}{d}}{\frac{c-a}{d}} $ | (Definition der Dichtefunktion der Standard-Dreiecksverteilung) |
| = | $ \frac{1}{d}\cdot \frac{\left(\frac{x-a}{d}\right)^{\alpha -1}\left(\frac{b-a-x+a}{d}\right)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)} $ | |
| = | $ \frac{1}{d}\cdot \frac{\frac{(x-a)^{\alpha -1}}{d^{\alpha -1}}\frac{(b-x)^{\beta-1}}{d^{\beta-1}}}{\Beta(\alpha,\beta)} $ | |
| = | $ \frac{1}{d}\cdot \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot d^{\alpha-1+\beta-1}} $ | |
| = | $ \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot d^{\alpha+\beta-1}} $ | |
| = | $ f_{D(a,b,c)}(x)\! $ | (Definition der Dichtefunktion der allgemeinen Beta-Verteilung) |
Quellen
- Autor des Beweises: W. Kowarschick
Siehe auch
Wikipedia:Affine_Transformation
