Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Dreiecksverteilung (Satz): Unterschied zwischen den Versionen
Kowa (Diskussion | Beiträge) |
Kowa (Diskussion | Beiträge) |
||
| Zeile 35: | Zeile 35: | ||
Die Transformationsfunktion <math>t_1\!</math> bildet das Interval <math>[0,1]\!</math> | Die Transformationsfunktion <math>t_1\!</math> bildet das Interval <math>[0,1]\!</math> | ||
auf das Interval <math>[a,b]\!</math> ab, die Transformationsfunktion <math>t_2\!</math> modifiziert die | auf das Interval <math>[a,b]\!</math> ab, die Transformationsfunktion <math>t_2\!</math> modifiziert die | ||
Höhe der transformierten Dichtefunktion so, dass die von ihr umfasste Fläche ''wieder'' 1 beträgt | Höhe der transformierten Dichtefunktion so, dass die von ihr umfasste Fläche ''wieder'' 1 beträgt: | ||
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\, \mathrm{d}x = | $$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\, \mathrm{d}x = | ||
\int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{D(a,b,c)}(x)\, \mathrm{d}x = 1$$ | \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{D(a,b,c)}(x)\, \mathrm{d}x = 1$$ | ||
=Beweis= | =Beweis= | ||
Version vom 11. September 2012, 11:29 Uhr
Dieser Artikel erfüllt die GlossarWiki-Qualitätsanforderungen:
| Korrektheit: 5 (vollständig überprüft) |
Umfang: 5 (wesentliche Fakten vorhanden) |
Quellenangaben: 5 (vollständig vorhanden) |
Quellenarten: 5 (ausgezeichnet) |
Konformität: 5 (ausgezeichnet) |
Voraussetzung
Es seien $ a \in ]-\infty,\infty[ $, $ b \in ]a,\infty[ $ und $ c \in ]a,b[ $.
Die Dichtefunktionen $ f_{D(a,b,c)}\! $ und $ f_{D((c-a)/d)} $ seien wie in Dreiecksverteilung bzw. Standard-Dreiecksverteilung beschrieben definiert.
Aufgrund der obigen Voraussetzungen erfüllen die Parameter $ a,b,c $ die in der Definition der Dreiecksverteilung genannten Voraussetzungen.
Ebenso erfüllt $ (c-a)/(b-a) $ die in der Definition der Standard-Dreickesverteilung geforderte Bedingung $ (c-a)/(b-a) \in ]0,1[ $, da $ c-a>0\! $, $ b-a>0 $ und $ c-a<b-a $.
Satz
Die Dichtefunktionen der Dreiecksverteilungen können mit Hilfe zweier affiner Transformationen $ t_1(x) = \frac{x-a}{b-a} = \frac{1}{b-a}\cdot x - \frac{a}{b-a} $ und $ t_2(x) = \frac{1}{b-a}\cdot x $ aus den Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksverteilung erzeugt werden (vgl. Verkettung von Funktionen):
$$ f_{D(a,b,c)}(x)
= t_2 \circ f_{D(a,b,c)} \circ t_1(x)
= \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
$$
Veranschaulichung
Die Transformationsfunktion $ t_1\! $ bildet das Interval $ [0,1]\! $ auf das Interval $ [a,b]\! $ ab, die Transformationsfunktion $ t_2\! $ modifiziert die Höhe der transformierten Dichtefunktion so, dass die von ihr umfasste Fläche wieder 1 beträgt:
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\, \mathrm{d}x =
\int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{D(a,b,c)}(x)\, \mathrm{d}x = 1$$
Beweis
Die Bedingungen $ x < a\! $ und $ \frac{x-a}{b-a} < 0 $ sowie $ x > b\! $ und $ \frac{x-a}{b-a} > 1 $ sind äquivalent (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)).
In den zugehörigen Intervallen $ ]-\infty,a[ $ bzw. $ ]-\infty,0[ $ sowie $ ]b, \infty[ $ bzw. $ ]1, \infty[ $ sind die jeweiligen Dichtefunktionen konstant gleich 0. Und damit gilt die Aussage des Satzes trivialerweise:
$ f_{D(a,b,c)}(x) = 0 = f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $ (Def. der Dichtefunktionen der standardisierten und der allgemeinen Dreiecksverteilung)
Für $ a \le x \le c $ bzw. die dazu äquivalente Bedingung $ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le \frac{c-a}{b-a} $ (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)) gilt:
$ \displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)} $ = $ \displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot 2\cdot\frac{\frac{x-a}{b-a}}{\frac{c-a}{b-a}}} $ (Definition der Dichtefunktion der Standard-Dreiecksverteilung) = $ \displaystyle{\frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}} $ = $ \displaystyle{f_{D(a,b,c)}(x)} $ (Definition der Dichtefunktion der Dreiecksverteilung)
Für $ c < x \le b $ bzw. die dazu äquivalente Bedingung $ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a} \le 1 $ (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)) gilt:
$ \displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)} $ = $ \displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot 2\cdot\frac{1-\frac{x-a}{b-a}}{1-\frac{c-a}{b-a}}} $ (Definition der Dichtefunktion der Standard-Dreiecksverteilung) = $ \displaystyle{\frac{2}{b-a}\cdot\frac{\frac{(b-a-x+a)}{b-a}}{\frac{(b-a-c+a)}{b-a}}} $ = $ \displaystyle{\frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}} $ = $ \displaystyle{f_{D(a,b,c)}(x)} $ (Definition der Dichtefunktion der Dreiecksverteilung)
Damit ist die Behauptung für alle $ x \,\in\, ]-\infty,\infty[ \, = \, ]-\infty,a[ \,\cup\, [a,c] \,\cup\, ]c,b] \,\cup\, ]b,\infty[ $ gezeigt.
Quellen
- Autor des Beweises: W. Kowarschick
- Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
