Junktor

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Definition (Kowarschick)

Unter einem Junktor (Aussageverknüpfung, Aussagefunktor) versteht man einen Funktor mit dessen Hilfe endlich viele Aussagen zu einer neuen Aussage verknüpft werden. Der Wahrheitswert der neuen Aussage hängt nur von den Wahrheitswerten der zugehörigen Teilaussagen ab.

Ein Junktor heißt $n$-stellig, wenn er genau $n$ Aussagen zu einer neuen Aussage verknüpft.

Definition (Brockhaus)

Logik: eine log. Partikel, mit deren Hilfe endlich viele Aussagen zu einer neuen Aussage verknüpft werden. Beispiele sind die Abjunktion, die Adjunktion, die Bijunktion, die Konjunktion, die Subbjunktion und die Negation. Alle zweistelligen J. lassen sich auf den Sheffer-Strich zurückführen.

Definition (Bronstein, Semendjajew)

Sind $A_1$, $A_2$ Aussagen, so lassen sich durch sprachliche Verbindungen daraus neue Aussagen gewinnen: „nicht $A_1$“, „$A_1$ und $A_2$“, „$A_1$ oder $A_2$“, „wenn $A_1$, so $A_2$“, „$A_1$ genau dann, wenn $A_2$“, deren Wahrheitswert nur von den Wahrheitswerten der in ihnen vorkommenden Teilaussagen abhängt (Externsionalitätsprünzip der Aussagenlogik).

Definition (Menne)

Albert Menne nennt Funktoren, „die Aussagen umformen oder verbinden zu einer neuen Aussage“ Aussagefunktoren. Er unterscheidet zwischnen monadischen (einstelligen), dyadischen (zweistelligen) und triadischen (dreistelligen) Aussagefunktoren.

Anmerkung

Menne weißt daraufhin, dass dyadische Aussagefunktoren von Paul Lorenzen Junktoren genannt werden. In der obigen Definiton von Kowarschick wird dagegen nicht zwischen Aussagefunktoren und Junktoren unterschieden.

Bemerkungen

Alle der obigen Definitionen sind im Falle von mehrwertigen Aussagelogiken – auch wenn dies von den zitierten Autoren nicht erwähnt wird – ebenfalls gültig, d.h. im Falle von Aussagelogiken, denen mehr als die beiden Wahrheitswerte wahr und falsch zu Grunde liegen. Beispielsweise wurde für SQL eine dreiwertige Logik spezifiziert mit den Wahrheitswerten wahr, falsch und unbekannt.

Junktoren der zweiwertigen Logik

Nullstellige Junktoren

Es gibt insgesamt zwei ($2^{2^{0}}$) nullstellige (konstante) Junktoren.

Namen	Symbol	Wahrheitswerte
Verum	$ \top $	W
Falsum	$ \bot $	F

Einstellige Junktoren

Es gibt insgesamt vier ($2^{2^{1}}$) einstellige Junktoren. Zwei dieser Junktoren bilden die beiden nullstelligen Junktoren nach und erhalten daher keine eigenen Symbole.

Namen	Symbole	Wahrheitswerte
		$ a $ W	$ a $ F
Identität	$ \rm{id}(a) $	W	F
Negation	$ \lnot a $, $ {\sim}a $, $ \overline a $	F	W

Namen	Wahrheitswerte
	$ a $ W	$ a $ F
Verum	W	W
Falsum	F	F

Zweistellige Junktoren

Es gibt insgesamt sechszehn ($2^{2^{2}}$) zweistellige Junktoren. Sechs dieser Junktoren bilden die nullstelligen bzw. einstelligen Junktoren nach und erhalten daher (zumindest in diesem Wiki) keine eigenen Symbole.

Namen	Symbole	Wahrheitswerte
		$ a $ $ b $ W W	$ a $ $ b $ W F	$ a $ $ b $ F W	$ a $ $ b $ F F
Konjunktion	$ a \wedge b $	W	F	F	F
Disjunktion, Adjunktion	$ a \vee b $	W	W	W	F
Subjunktion, Implikation	$ a \rightarrow b $	W	F	W	W
Konversion	$ a \leftarrow b $	W	W	F	W
Bijunktion	$ a \leftrightarrow b $	W	F	F	W
Sheffer-Strich, NAND	$ a \mid b $, $ a \barwedge b $	F	W	W	W
Peirce-Funktion, NOR	$ a \overline\vee b $	F	F	F	W
Kontravalenz, XOR	$ a \not\leftrightarrow b $, $ a \,\dot\vee\, b $	F	W	W	F
Postsektion, Nur a	$ a \not\rightarrow b $	F	W	F	F
Präsektion, Nur b	$ a \not\leftarrow b $	F	F	W	F

Namen	Wahrheitswerte
	$ a $ $ b $ W W	$ a $ $ b $ W F	$ a $ $ b $ F W	$ a $ $ b $ F F
Verum	W	W	W	W
Falsum	F	F	F	F
Identität von $ a $	W	W	F	F
Identität von $ b $	W	F	W	F
Negation von $ a $	F	F	W	W
Negation von $ b $	F	W	F	W

Ein paar Junktoren der dreiwertigen Logik

Nullstellige Junktoren

Es gibt insgesamt drei ($3^{3^{0}}$) nullstellige (konstante) Junktoren:

Namen	Symbol	Wahrheitswerte
Verum	$ \top $	W
Incertum	$ U $	U
Falsum	$ \bot $	F

Die Bezeichnung „Incertum“ für den Wahrheitswert „U“ = „unbestimmt“ wurde von Wolfgang Kowarschick eingeführt. Manchmal steht „U“ aber auch für „unbekannt“. In diesem Fall wäre die Bezeichnung „Ingnotum“ besser.

Einstellige Junktoren

Es gibt insgesamt 27 ($3^{3^{1}}$) einstellige Junktoren. Allein für die Negation und die Identität gibt es jeweils schon drei mögliche Varianten:

Namen	Symbole	Wahrheitswerte
		$ a $ W	$ a $ U	$ a $ F
starkes Nicht	$\lnot a$	F	U	W
schwaches Nicht, is nicht wahr	${\sim}a$	F	W	W
ist falsch	$-a$	F	F	W	${\sim}{\sim}\lnot a$, ${\lnot}{\sim}\lnot a$

Namen	Symbole	Wahrheitswerte			identisch zu
		$ a $ W	$ a $ U	$ a $ F
Identität	$\rm{id}(a)$	W	U	F	$\lnot\lnot a$
ist nicht falsch	$\rm{M}(a)$	W	W	F	${\sim}\lnot a$, $\lnot{-}a$, ${-}\lnot a$, ${-}{-}a$
ist wahr	$\rm{L}(a)$	W	F	F	$\lnot{\sim}a$, ${\sim}{\sim}a$, ${-}\lnot a$, ${-}{\sim}a$

Mit Hilfe der starken und der schwachen Negation, lassen sich alle sechs der obigen Junktoren nachbilden. In den meisten Fällen reicht die einfache oder die doppelte Negation, nur für $-a$ braucht man die dreifache Negation. (Die dreifache Negation ist auch im Bayerischen weit verbreitet: „I drink nia koa Wosser ned.“ :-) )

Darüber hinaus gibt es sechs einstellige Junktoren, um zu überprüfen, ob eine Aussage einen bestimmten Wert hat bzw. nicht hat.

Namen	Symbole	Wahrheitswerte			identisch zu
		$ a $ W	$ a $ U	$ a $ F
ist wahr, is true	$\rm{isT}(a)$	W	F	F	$\rm{L}(a)$
ist unbekannt, ist unbestimmt, is unknown	$\rm{isU}(a)$, $\rm{I}(a)$	F	W	F	$\lnot\rm{I}(a)$, ${\sim}\rm{I}(a)$, $-\rm{I}(a)$
ist falsch, is false	$\rm{isF}(a)$	F	F	W	$-a$

Namen	Symbole	Wahrheitswerte			identisch zu
		$ a $ W	$ a $ U	$ a $ F
ist nicht wahr, is not true	$\rm{NisT}(a)$	F	W	W	${\sim}a$
ist nicht unbekannt, ist nicht unbestimmt, is not unknown	$\rm{NisU}(a)$	W	F	W
ist nicht falsch, is not false	$\rm{NisF}(a)$	W	W	F	$\rm{M}(a)$