Junktor: Unterschied zwischen den Versionen
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In der obigen Definiton von Kowarschick wird dagegen nicht zwischen ''Aussagefunktoren'' und ''Junktoren'' unterschieden. | In der obigen Definiton von Kowarschick wird dagegen nicht zwischen ''Aussagefunktoren'' und ''Junktoren'' unterschieden. | ||
Version vom 22. Juli 2014, 11:38 Uhr
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Definition (Kowarschick)
Unter einem Junktor (Aussageverknüpfung, Aussagefunktor) versteht man einen Funktor mit dessen Hilfe endlich viele Aussagen zu einer neuen Aussage verknüpft werden. Der Wahrheitswert der neuen Aussage hängt nur von den Wahrheitswerten der zugehörigen Teilaussagen ab.
Ein Junktor heißt $n$-stellig, wenn er genau $n$ Aussagen zu einer neuen Aussage verknüpft.
Definition (Brockhaus)[1]
Logik: eine log. Partikel, mit deren Hilfe endlich viele Aussagen zu einer neuen Aussage verknüpft werden. Beispiele sind die Abjunktion, die Adjunktion, die Bijunktion, die Konjunktion, die Subbjunktion und die Negation. Alle zweistelligen J. lassen sich auf den Sheffer-Strich zurückführen.
Definition (Bronstein, Semendjajew)[2]
Sind $A_1$, $A_2$ Aussagen, so lassen sich durch sprachliche Verbindungen daraus neue Aussagen gewinnen: „nicht $A_1$“, „$A_1$ und $A_2$“, „$A_1$ oder $A_2$“, „wenn $A_1$, so $A_2$“, „$A_1$ genau dann, wenn $A_2$“, deren Wahrheitswert nur von den Wahrheitswerten der in ihnen vorkommenden Teilaussagen abhängt (Externsionalitätsprünzip der Aussagenlogik).
Definition (Menne)[3]
Albert Menne nennt Funktoren, „die Aussagen umformen oder verbinden zu einer neuen Aussage“ Aussagefunktoren. Er unterscheidet zwischnen monadischen (einstelligen), dyadischen (zweistelligen) und triadischen (dreistelligen) Aussagefunktoren.
Anmerkungen
Menne weißt daraufhin, dass dyadische Aussagefunktoren von Paul Lorenzen[4] Junktoren genannt werden. In der obigen Definiton von Kowarschick wird dagegen nicht zwischen Aussagefunktoren und Junktoren unterschieden.
Die obigen Definitionen auch im Falle von mehrwertigen Aussagelogiken gültig, d.h. im Falle von Aussagelogiken, denen mehr als die beiden Wahrheitswerte wahr und falsch zu grunde liegen. Beispielsweise wurde für SQL eine dreiwertige Logik spezifiziert, mit den Wahrheitswerten wahr, falsch und unbekannt.
Junktoren
Nullstellige Junktoren
Es gibt insgesamt zwei ($2^{2^{0}}$) einstellige (konstante) Junktoren.
| Namen | Symbol | Wahrheitswerte |
|---|---|---|
| Verum | $ \top $ | W |
| Falsum | $ \bot $ | F |
Einstellige Junktoren
Es gibt insgesamt vier ($2^{2^{1}}$) einstellige Junktoren. Zwei dieser Junktoren bilden die beiden nullstelligen Junktoren nach und bekommen daher keine eigenen Symbole.
| Namen | Symbole | Wahrheitswerte | |
|---|---|---|---|
| $ a $ W |
$ a $ F | ||
| Identität | $ \rm{id}(a) $ | W | F |
| Negation | $ \lnot a $, $ {\sim}a $, $ \overline a $ | F | W |
| Namen | Wahrheitswerte | |
|---|---|---|
| $ a $ W |
$ a $ F | |
| Verum | W | W |
| Falsum | F | F |
Zweistellige Junktoren
Es gibt insgesamt sechszehn ($2^{2^{2}}$) zweistellige Junktoren. Sechs dieser Junktoren bilden die nullstelligen bzw. einstelligen Junktoren nach und bekommen daher keine eigenen Symbole.
| Namen | Symbole | Wahrheitswerte | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
| ||||||||||||||||||
| Konjunktion | $ a \wedge b $ | W | F | F | F | ||||||||||||||||
| Disjunktion, Adjunktion | $ a \vee b $ | W | W | W | F | ||||||||||||||||
| Subjunktion, Implikation | $ a \rightarrow b $ | W | F | W | W | ||||||||||||||||
| Konversion | $ a \leftarrow b $ | W | W | F | W | ||||||||||||||||
| Bijunktion | $ a \leftrightarrow b $ | W | F | F | W | ||||||||||||||||
| Sheffer-Strich, NAND | $ a \mid b $, $ a \barwedge b $ | F | W | W | W | ||||||||||||||||
| Peirce-Funktion, NOR | $ a \overline\vee b $ | F | F | F | W | ||||||||||||||||
| Kontravalenz, XOR | $ a \not\leftrightarrow b $, $ a \,\dot\vee\, b $ | F | W | W | F | ||||||||||||||||
| Postsektion, Nur a | $ a \not\rightarrow b $ | F | W | F | F | ||||||||||||||||
| Präsektion, Nur b | $ a \not\leftarrow b $ | F | F | W | F | ||||||||||||||||
| Namen | Wahrheitswerte | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
| |||||||||||||||||
| Verum | W | W | W | W | ||||||||||||||||
| Falsum | F | F | F | F | ||||||||||||||||
| Identität von $ a $ | W | W | F | F | ||||||||||||||||
| Identität von $ b $ | W | F | W | F | ||||||||||||||||
| Negation von $ a $ | F | F | W | W | ||||||||||||||||
| Negation von $ b $ | F | W | F | W | ||||||||||||||||
Quellen
- ↑ Brockhaus (1990, IT-KIP): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 11, IT-KIP; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1111-1; 1990; Quellengüte: 5 (Buch)
- ↑ Bronstein, Semendjajew (1979): I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew; Taschenbuch der Mathematik; Hrsg.: G. Grosche und V. Ziegler; Auflage: 19; Verlag: BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft und Nauka-Verlag; Adresse: Leipzig, Moskau; ISBN: 3871444928; 1979; Quellengüte: 5 (Buch), Seite 588
- ↑ Menne (1973): Albert Menne; Einführung in die Logik; Reihe: Uni-Taschenbücher; Nummer: 34; Auflage: 2; Verlag: Francke Verlag; Adresse: München; ISBN: 3-7720-0005-3; 1973; Quellengüte: 5 (Buch), S. 33, S. 35
- ↑ Lorenzen (1958): Paul Lorenzen; Formale Logik; Verlag: Walter de Gruyter GmbH; Adresse: Berlin; 1958; Quellengüte: 5 (Buch)
