Junktor

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Definition (Kowarschick)

Unter einem Junktor (Aussageverknüpfung, Aussagefunktor) versteht man einen Funktor mit dessen Hilfe endlich viele Aussagen zu einer neuen Aussage verknüpft werden. Der Wahrheitswert der neuen Aussage hängt nur von den Wahrheitswerten der zugehörigen Teilaussagen ab.

Ein Junktor heißt $n$-stellig, wenn er genau $n$ Aussagen zu einer neuen Aussage verknüpft.

Definition (Brockhaus)

Logik: eine log. Partikel, mit deren Hilfe endlich viele Aussagen zu einer neuen Aussage verknüpft werden. Beispiele sind die Abjunktion, die Adjunktion, die Bijunktion, die Konjunktion, die Subbjunktion und die Negation. Alle zweistelligen J. lassen sich auf den Sheffer-Strich zurückführen.

Definition (Bronstein, Semendjajew)

Sind $A_1$, $A_2$ Aussagen, so lassen sich durch sprachliche Verbindungen daraus neue Aussagen gewinnen: „nicht $A_1$“, „$A_1$ und $A_2$“, „$A_1$ oder $A_2$“, „wenn $A_1$, so $A_2$“, „$A_1$ genau dann, wenn $A_2$“, deren Wahrheitswert nur von den Wahrheitswerten der in ihnen vorkommenden Teilaussagen abhängt (Externsionalitätsprünzip der Aussagenlogik).

Definition (Menne)

Albert Menne nennt Funktoren, „die Aussagen umformen oder verbinden zu einer neuen Aussage“ Aussagefunktoren. Er unterscheidet zwischnen monadischen (einstelligen), dyadischen (zweistelligen) und triadischen (dreistelligen) Aussagefunktoren.

Anmerkung

Menne weißt daraufhin, dass dyadische Aussagefunktoren von Paul Lorenzen Junktoren genannt werden. In der obigen Definiton von Kowarschick wird dagegen nicht zwischen Aussagefunktoren und Junktoren unterschieden.

Bemerkungen

Alle der obigen Definitionen sind im Falle von mehrwertigen Aussagelogiken – auch wenn dies von den zitierten Autoren nicht erwähnt wird – ebenfalls gültig, d.h. im Falle von Aussagelogiken, denen mehr als die beiden Wahrheitswerte wahr und falsch zu Grunde liegen. Beispielsweise wurde für SQL eine dreiwertige Logik spezifiziert mit den Wahrheitswerten wahr, falsch und unbekannt.

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Eigenschaften

Satz: Anzahl der Junktoren

Für eine $m$-wertige Aussagelogik gibt es $m^{m^n} = m^{(m^n)}$ $n$-stellige Junktoren.

Beweis

[ein-/ausklappen]

Dieser Satz beruht auf mengentheoretischen Begriffen Funktion, kartesischem Produkt und Mächtigkeit. Auf der anderen Seite wird die Mengenlehre mit Hilfe der Prädikatenlogik 1. Stufe formal definiert. Junktoren sind integraler Bestandteil der Prädikatenlogik. Dennoch ergibt sich kein Circulus vitiosus, weil die Aussage dieses Satzes zur Formalisierung der Mengenlehre nicht von Bedeutung ist. Es sei $W$ die endliche Menge der Wahrheitswerte der gegebenen Aussagenlogik.

Gemäß Voraussetzung hat $W$ die Mächhtigkeit $m$:

$|W| = m$

Ein $n$-stelliger Junktor $j$ ist aus mengentheoretischer Sicht eine Funktion mit Definitionsbereich $W^n$ und Wertebereich $W$, d.h. eine Funktion, die einem $n$-Tupel von Wahrheitswerten einen neuen Wahrheitswert zuweist:

$j: W^n \rightarrow W$

Die Menge $F_{A,B}$ aller Funktionen $f: A \rightarrow B$

$F_{A,B} = \{f|f: A \rightarrow B\} $

hat die Mächtigkeit $|B|^{\,|A| }$(Ebbinghaus, S. 80, Satz 3.8, (iii)).

Die Menge

$J_{W^n,W} = \{j|j: W^n \rightarrow W\} $

aller $n$-stelligen Junktoren hat also die Mächtigkeit $|W|^{\,|W^n| }\rm{.}$ Da laut Voraussetzung $|W| = m$ und damit $|W^n| = m^n$ (Ebbinghaus, S. 80, Satz 3.8, (ii)), ist die Aussage bewiesen:

$|J_{W^n,W}| = m^{(m^n)}$

Junktoren der zweiwertigen Logik

Nullstellige Junktoren

Es gibt insgesamt zwei ($2^{2^{0}}$) nullstellige (konstante) Junktoren.

Namen	Symbol	Wahrheitswerte
Verum	$ \top $	W
Falsum	$ \bot $	F

Einstellige Junktoren

Es gibt insgesamt vier ($2^{2^{1}}$) einstellige Junktoren. Zwei dieser Junktoren bilden die beiden nullstelligen Junktoren nach und erhalten daher keine eigenen Symbole.

Namen	Symbole	Wahrheitswerte
		$ a $ W	$ a $ F
Identität	$ \rm{id}(a) $	W	F
Negation	$ \lnot a $, $ {\sim}a $, $ \overline a $	F	W

Namen	Wahrheitswerte
	$ a $ W	$ a $ F
Verum	W	W
Falsum	F	F

Zweistellige Junktoren

Es gibt insgesamt sechszehn ($2^{2^{2}}$) zweistellige Junktoren. Sechs dieser Junktoren bilden die nullstelligen bzw. einstelligen Junktoren nach und erhalten daher (zumindest in diesem Wiki) keine eigenen Symbole.

Namen	Symbole	Wahrheitswerte
		$ a $ $ b $ W W	$ a $ $ b $ W F	$ a $ $ b $ F W	$ a $ $ b $ F F
Konjunktion	$ a \wedge b $	W	F	F	F
Disjunktion, Adjunktion	$ a \vee b $	W	W	W	F
Subjunktion, Implikation	$ a \rightarrow b $	W	F	W	W
Konversion	$ a \leftarrow b $	W	W	F	W
Bijunktion	$ a \leftrightarrow b $	W	F	F	W
Sheffer-Strich, NAND	$ a \mid b $, $ a \barwedge b $	F	W	W	W
Peirce-Funktion, NOR	$ a \overline\vee b $	F	F	F	W
Kontravalenz, XOR	$ a \not\leftrightarrow b $, $ a \,\dot\vee\, b $	F	W	W	F
Postsektion, Nur a	$ a \not\rightarrow b $	F	W	F	F
Präsektion, Nur b	$ a \not\leftarrow b $	F	F	W	F

Namen	Wahrheitswerte
	$ a $ $ b $ W W	$ a $ $ b $ W F	$ a $ $ b $ F W	$ a $ $ b $ F F
Verum	W	W	W	W
Falsum	F	F	F	F
Identität von $ a $	W	W	F	F
Identität von $ b $	W	F	W	F
Negation von $ a $	F	F	W	W
Negation von $ b $	F	W	F	W

Ein paar Junktoren der dreiwertigen Logik

Nullstellige Junktoren

Es gibt insgesamt drei ($3^{3^{0}}$) nullstellige (konstante) Junktoren:

Namen	Symbol	Wahrheitswerte
Verum	$ \top $	W
Incertum	$ U $	U
Falsum	$ \bot $	F

Die Bezeichnung „Incertum“ für den Wahrheitswert „U“ = „unbestimmt“ wurde von Wolfgang Kowarschick eingeführt. Manchmal steht „U“ aber auch für „unbekannt“. In diesem Fall wäre die Bezeichnung „Ingnotum“ besser.

Einstellige Junktoren

Es gibt insgesamt 27 ($3^{3^{1}}$) einstellige Junktoren. Allein für die Negation und die Identität gibt es jeweils schon drei mögliche Varianten:

Namen	Symbole	Wahrheitswerte			identisch zu
		$ a $ T	$ a $ U	$ a $ F
starkes Nicht	$\lnot a$	F	U	T
schwaches Nicht, ist nicht wahr	${\sim}a$	F	T	T
ist falsch	$-a$	F	F	T	${\sim}{\sim}\lnot a$, ${\lnot}{\sim}\lnot a$

Namen	Symbole	Wahrheitswerte			identisch zu
		$ a $ T	$ a $ U	$ a $ F
Identität	$\rm{id}(a)$	T	U	F	$\lnot\lnot a$
ist nicht falsch	$\rm{idT}(a)$	T	T	F	${\sim}\lnot a$, $\lnot{-}a$, ${-}\lnot a$, ${-}{-}a$
ist wahr	$\rm{idF}(a)$	T	F	F	$\lnot{\sim}a$, ${\sim}{\sim}a$, ${-}\lnot a$, ${-}{\sim}a$

Mit Hilfe der starken und der schwachen Negation, lassen sich alle sechs der obigen Junktoren nachbilden. In den meisten Fällen reicht die einfache oder die doppelte Negation, nur für $-a$ braucht man die dreifache Negation. (Die dreifache Negation ist auch im Bayerischen weit verbreitet: „I dring nia koa Wossa ned.“ :-) )

Darüber hinaus gibt es sechs einstellige Junktoren, um zu überprüfen, ob eine Aussage einen bestimmten Wert hat bzw. nicht hat.

Namen	Symbole	Wahrheitswerte			identisch zu
		$ a $ T	$ a $ U	$ a $ F
ist wahr, is true	$\rm{isT}(a)$	T	F	F	$\rm{idF}(a)$
ist unbekannt, ist unbestimmt, is unknown	$\rm{isU}(a)$	F	T	F
ist falsch, is false	$\rm{isF}(a)$	F	F	T	$-a$

Namen	Symbole	Wahrheitswerte			identisch zu
		$ a $ T	$ a $ U	$ a $ F
ist nicht wahr, is not true	$\rm{isNT}(a)$	F	T	T	${\sim}a$
ist nicht unbekannt, ist nicht unbestimmt, is not unknown	$\rm{isNU}(a)$	T	F	T	$\lnot\rm{isNU}(a)$, ${\sim}\rm{isNU}(a)$, $-\rm{isNU}(a)$
ist nicht falsch, is not false	$\rm{isNF}(a)$	T	T	F	$\rm{idT}(a)$

Laut SQL-Standard unterstütz SQL dreiwertige Logik. Folgende einstelligen Junktoren gibt es:

• NOT ($\lnot$)
• IS TRUE ($\rm{isT}$), IS NOT TRUE ($\rm{isNT}$)
• IS UNKNOWN ($\rm{isU}$), IS NOT UNKNOWN ($\rm{isNU}$)
• IS FALSE ($\rm{isF}$), IS NOT FALSE ($\rm{isNF}$)

Damit lassen sich alle der acht zuvor definierten dreistelligen Junktoren nachbilden. Zusammen mit den konstanten Werten (nullstelligen Junktoren) TRUE, UNKNOWN und FALSE lassen sich auch die restlichen 19 Junktoren nachbilden.

Zweistellige Junktoren

Es gibt insgesamt 19683 ($3^{3^{2}}$) zweistellige Junktoren. Das heiß, eine vollständige Analyse aller denkbaren Junktoren ist nicht nnur sehr zeitauswändig, sondern auch noch ziemlich sinnleer.