Axiom:Paaraxiom: Unterschied zwischen den Versionen
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[[Datei:Frege (1893), Tafel der wichtigeren Lehrsaetze, S248.png|mini|300px|Freges Paar-Begriff erfüllt das [[Paaraxiom]], Frege (1893), Tafel der wichtigeren Lehrsätze, S. 248]] | |||
==Geschichte== | ==Geschichte== | ||
Das Paaraxiom wurde 1897 von [[Giuseppe Peano]] eingeführt.<ref name="Peano (1897a)">{{Quelle|Peano (1897a)}}, S. 580</ref><ref name="Peano (1897b)">{{Quelle|Peano (1897b)}}, S. 6, Nr. 70 und Nr. 71</ref> | Das Paaraxiom wurde 1897 von [[Giuseppe Peano]] eingeführt.<ref name="Peano (1897a)">{{Quelle|Peano (1897a)}}, S. 580</ref><ref name="Peano (1897b)">{{Quelle|Peano (1897b)}}, S. 6, Nr. 70 und Nr. 71</ref> | ||
Allerdings hat [[Gottlob Frege]] bereits vier Jahre zuvor geordnete Paare $o;a$ innerhalb seines Axiomensystems definiert und die Eigenschaften, die Peanos Paaraxiom fordert, dafür bewiesen.<ref name="Frege (1893)">{{Quelle|Frege (1893)}}, §149, §155</ref> | |||
==Eigenschaften von geordneten Paaren== | ==Eigenschaften von geordneten Paaren== |
Version vom 13. April 2015, 12:10 Uhr
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Definitionen
Voraussetzung
Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger Operator, der jeweils zwei „Elemente“/„Objekte“ des gegebenen Universums auf ein „Element“/„Objekt“ des Universums abbildet. Falls dieser Operator das Paaraxiom erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ geordnete Paare.
Paaraxiom: Definition in Metametasprache
Zwei geordnete Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.
Paaraxiom: Definition in Metasprache dieses Wikis|
Paaraxiom: Definition in Objektsprache dieses Wikis
![](/w/media/thumb/f/f3/Frege_%281893%29%2C_Tafel_der_wichtigeren_Lehrsaetze%2C_S248.png/300px-Frege_%281893%29%2C_Tafel_der_wichtigeren_Lehrsaetze%2C_S248.png)
Geschichte
Das Paaraxiom wurde 1897 von Giuseppe Peano eingeführt.[1][2] Allerdings hat Gottlob Frege bereits vier Jahre zuvor geordnete Paare $o;a$ innerhalb seines Axiomensystems definiert und die Eigenschaften, die Peanos Paaraxiom fordert, dafür bewiesen.[3]
Eigenschaften von geordneten Paaren
Bei Paarmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle:
Im Gegensatz dazu sind geordnete Paare – wegen des Paaraxioms – tatsächlich geordnet:
Quellen
- ↑ Peano (1897a): Giuseppe Peano; Studii de Logica Matematica; Atti della Reale Accademia delle scienze di Torino; Reihe: Classe di Scienze Fisiche Matematiche e Naturali; Band: 32; Seite(n): 565-583; Verlag: Accademia delle Scienze di Torino; Adresse: Torino; Web-Link; 1897 (Sammelband), S. 580
- ↑ Peano (1897b): Giuseppe Peano; Formulaire de Mathématiques; Band: 2; Verlag: Bocca frères und Ch. Clausen; Web-Link; 1897; Quellengüte: 5 (Buch), S. 6, Nr. 70 und Nr. 71
- ↑ Frege (1893): Gottlob Frege; Grundgesetze der Arithmetik; Band: I; Verlag: Verlag Hermann Pohle; Adresse: Jena; Web-Link 0, Web-Link 1, Web-Link 2, Web-Link 3; 1893; Quellengüte: 5 (Buch), §149, §155