Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)
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Voraussetzung
Die Dichtefunktionen $ f_{\Beta V(\alpha,\beta)} $ und $ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)} $ seien wie in Beta-Verteilung (standardisiert) bzw. Beta-Verteilung beschrieben definiert. Außerdem sollen die Parameter $ \alpha,\beta,a $ und $ b $ die dort genannten Voraussetzungen erfüllen.
Satz
Die Dichtefunktionen der allgemeinen Beta-Verteilungen können mit Hilfe zweier affiner Transformationen $ t_1(x) = \frac{x-a}{b-a} = \frac{1}{b-a}\cdot x - \frac{a}{b-a} $ und $ t_2(x) = \frac{1}{b-a}\cdot x $ aus den Dichtefunktionen der standardisiertren Beta-Verteilungen erzeugt werden:
$$f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) = t_2 \circ f_{X,\alpha,\beta} \circ t_1(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)$$ (vgl. Verkettung von Funktionen)
Korrolar
Für die zugehörigen Verteilungsfunktionen foglt aus dem obigen Satz: $$ F_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)
= F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
$$
Veranschaulichung
Die Transformationsfunktion $ t_1 $ bildet das Interval $ [0,1] $ auf das Interval $ [a,b] $ ab, die Transformationsfunktion $ t_2 $ modifiziert die Höhe der transformierten Dichtefunktion so, dass die von ihr umfasste Fläche wieder 1 beträgt (vgl. Satz über die Dichtefunktion der standardisierten Beta-Verteilungen):
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\, \mathrm{d}x =
\int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{\Beta V(\alpha,\beta, a, b)}(x)\, \mathrm{d}x = 1$$
(Satz über die Dichtefunktion der allgemeinen Beta-Verteilungen)
Beweis
Die Bedingungen $ x < a\! $ und $ \frac{x-a}{b-a} < 0 $ sowie $ x > b\! $ und $ \frac{x-a}{b-a} > 1 $ sind jeweils äquivalent (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)).
In den zugehörigen Intervallen $ ]-\infty,a[ $ bzw. $ ]-\infty,0[ $ sowie $ ]b, \infty[ $ bzw. $ ]1, \infty[ $ sind die jeweiligen Dichtefunktionen konstant gleich 0. Und damit gilt die Aussage des Satzes trivialerweise:
$ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) = 0 = f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $ (Def. der Dichtefunktionen der standardisierten und der allgemeinen Beta-Verteilung)
Für $ a \le x \le b $ bzw. die dazu äquivalente Bedingung $ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1 $ (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)) gilt:
$ \displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)} $ = $ \displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot \frac{\left(\frac{x-a}{b-a}\right)^{\alpha -1}\left(1-\frac{x-a}{b-a}\right)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}} $ (Definition der Dichtefunktion der standardisierten Beta-Verteilung) = $ \displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot \frac{\left(\frac{x-a}{b-a}\right)^{\alpha -1}\left(\frac{b-a-x+a}{b-a}\right)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}} $ = $ \displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot \frac{\frac{(x-a)^{\alpha -1}}{(b-a)^{\alpha -1}}\frac{(b-x)^{\beta-1}}{(b-a)^{\beta-1}}}{\Beta(\alpha,\beta)}} $ = $ \displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha-1+\beta-1}}} $ = $ \displaystyle{\frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha+\beta-1}}} $ = $ \displaystyle{f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)} $ (Definition der Dichtefunktion der allgemeinen Beta-Verteilung)
Damit ist die Behauptung für alle $ x \,\in\, ]-\infty,\infty[ \, = \, ]-\infty,a[ \,\cup\, [a,b] \,\cup\, ]b,\infty[ $ gezeigt.
Beweis des Korrolars
$ \displaystyle{F'_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)} $ = $ \displaystyle{f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\cdot\frac{1}{b-a}} $ (Nachdifferenzieren) = $ \displaystyle{f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)} $ (obiger Satz)
Quellen
- Autor des Beweises: W. Kowarschick
- Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
