Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)

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Satz

Die Dichtefunktionen $ f_{\Beta V(\alpha,\beta)} $ und $ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)} $ seien wie in Beta-Verteilung (standardisiert) bzw. Beta-Verteilung beschrieben definiert. Außerdem sollen die Parameter $ \alpha,\beta,a $ und $ b $ die dort genannten Voraussetzungen erfüllen.

Unter diesen Voraussetzungen können die Dichtefunktionen der allgemeinen Beta-Verteilungen mit Hilfe zweier affiner Transformationen $ t_1(x) = \frac{x-a}{b-a} = \frac{1}{b-a}\cdot x - \frac{a}{b-a} $ und $ t_2(x) = \frac{1}{b-a}\cdot x $ aus den Dichtefunktionen der standardisiertren Beta-Verteilungen erzeugt werden:

$ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) = t_2 \circ f_{X,\alpha,\beta} \circ t_1(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $ (vgl. Verkettung von Funktionen)

Korrolar

Für die zugehörigen Verteilungsfunktionen folgt aus dem obigen Satz:

$ F_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) = F_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x) \circ t_1(x) = F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $

Veranschaulichung

Die Transformationsfunktion $ t_1 $ bildet das Interval $ [0,1] $ auf das Interval $ [a,b] $ ab, die Transformationsfunktion $ t_2 $ modifiziert die Höhe der transformierten Dichtefunktion so, dass die von ihr umfasste Fläche wieder 1 beträgt:

$ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\, \mathrm{d}x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{\Beta V(\alpha,\beta, a, b)}(x)\, \mathrm{d}x = 1 $

Beweis

Laut Definition gilt für jede Beta-Verteilung $a < b$, d.h. $b-a > 0$.

Die Bedingungen $x < a$ und $\frac{x-a}{b-a} < 0$ sowie $x > b$ und $\frac{x-a}{b-a} > 1$ sind jeweils äquivalent (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)).

In den zugehörigen Intervallen $]-\infty,a[$ bzw. $]-\infty,0[$ sowie $]b, \infty[$ bzw. $]1, \infty[$ sind die jeweiligen Dichtefunktionen konstant gleich 0. Und damit gilt die Aussage des Satzes trivialerweise:

$ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) = 0 = f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $ (Def. der Dichtefunktionen der standardisierten und der allgemeinen Beta-Verteilung)

Für $a \le x \le b$ bzw. die dazu äquivalente Bedingung $0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1$ (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)) gilt:

	$\displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)}$
=	$\displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot \frac{\left(\frac{x-a}{b-a}\right)^{\alpha -1}\left(1-\frac{x-a}{b-a}\right)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}}$	(Definition der Dichtefunktion der standardisierten Beta-Verteilung)
=	$\displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot \frac{\left(\frac{x-a}{b-a}\right)^{\alpha -1}\left(\frac{b-a-x+a}{b-a}\right)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}}$
=	$\displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot \frac{\frac{(x-a)^{\alpha -1}}{(b-a)^{\alpha -1}}\frac{(b-x)^{\beta-1}}{(b-a)^{\beta-1}}}{\Beta(\alpha,\beta)}} $
=	$\displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha-1+\beta-1}}}$
=	$\displaystyle{\frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha+\beta-1}}}$
=	$\displaystyle{f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)}$	(Definition der Dichtefunktion der allgemeinen Beta-Verteilung)

Damit ist die Behauptung für alle $x \,\in\, ]-\infty,\infty[ \, = \, ]-\infty,a[ \,\cup\, [a,b] \,\cup\, ]b,\infty[ $ gezeigt.

Beweis des Korrolars

	$\displaystyle{F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)}$
=	$\displaystyle{\int_{-\infty}^x \! F'_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{t-a}{b-a}\right) \, \mathrm{d} t}$	(Fundamentalsatz der Analysis)
=	$\displaystyle{\int_{-\infty}^x \! \frac{1}{b-a}}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{t-a}{b-a}\right) \, \mathrm{d} t $	(Definition der Verteilungsfunktion der standardisierten Beta-Verteilung, Kettenregel)
=	$\displaystyle{\int_{-\infty}^x \! f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(t) \, \mathrm{d} t}$	(obiger Satz)
=	$\displaystyle{F_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)}$	(Definition der Verteilungsfunktion der allgemeinen Beta-Verteilung)

Quellen

1. Autor des Beweises: W. Kowarschick
2. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)

Siehe auch

• Wikipedia:Affine_Transformation