Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Dreiecksverteilung (Satz)

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Satz

Es seien $a \in ]-\infty,\infty[$, $b \in ]a,\infty[$ (d.h. $b > a$) und $c \in ]a,b[$.

Die Dichtefunktionen $f_{D(a,b,c)}$ und $f_{D((c-a)/d)} = f_{D((c-a)/(b-a))}$ seien wie in Dreiecksverteilung bzw. Standard-Dreiecksverteilung beschrieben definiert.

Aufgrund dieer obigen Voraussetzungen erfüllen die Parameter $a,b,c$ die in der Definition der Dreiecksverteilung genannten Voraussetzungen.

Ebenso erfüllt $\frac{c-a}{b-a}$ die in der Definition der Standard-Dreickesverteilung geforderte Bedingung $\frac{c-a}{b-a} \in ]0,1[$, da $c-a>0$, $b-a>0$ und $c-a<b-a$.

Die Dichtefunktionen der Dreiecksverteilungen können mit Hilfe zweier affiner Transformationen $t_1(x) = \frac{x-a}{b-a} = \frac{1}{b-a}\cdot x - \frac{a}{b-a}$ und $t_2(x) = \frac{1}{b-a}\cdot x$ aus den Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksverteilung erzeugt werden (vgl. Verkettung von Funktionen):

$

 f_{D(a,b,c)}(x) 
     = t_2 \circ f_{D(a,b,c)} \circ t_1(x)
     = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)

$

Korrolar

Für die zugehörigen Verteilungsfunktionen folgt aus dem obigen Satz:

$ F_{D(a,b,c)}(x) = F_{D(a,b,c)} \circ t_1(x) = F_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $

Veranschaulichung

Die Transformationsfunktion $t_1$ bildet das Interval $[0,1]$ auf das Interval $[a,b]$ ab, die Transformationsfunktion $t_2$ modifiziert die Höhe der transformierten Dichtefunktion so, dass die von ihr umfasste Fläche „wieder“ 1 beträgt:

$ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\, \mathrm{d}x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{D(a,b,c)}(x)\, \mathrm{d}x = 1 $

Beweis

Die Bedingungen $x < a$ und $\frac{x-a}{b-a} < 0$ sowie $x > b$ und $\frac{x-a}{b-a} > 1$ sind äquivalent (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)).

In den zugehörigen Intervallen $]-\infty,a[$ bzw. $]-\infty,0[$ sowie $]b, \infty[$ bzw. $]1, \infty[$ sind die jeweiligen Dichtefunktionen konstant gleich 0. Und damit gilt die Aussage des Satzes trivialerweise:

$ f_{D(a,b,c)}(x) = 0 = f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $ (Def. der Dichtefunktionen der standardisierten und der allgemeinen Dreiecksverteilung)

Für $a \le x \le c$ bzw. die dazu äquivalente Bedingung $0 \le \frac{x-a}{b-a} \le \frac{c-a}{b-a}$ (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)) gilt:

	$\displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)}$
=	$\displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot 2\cdot\frac{\frac{x-a}{b-a}}{\frac{c-a}{b-a}}}$	(Definition der Dichtefunktion der Standard-Dreiecksverteilung)
=	$\displaystyle{\frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}$
=	$\displaystyle{f_{D(a,b,c)}(x)}$	(Definition der Dichtefunktion der Dreiecksverteilung)

Für $c < x \le b$ bzw. die dazu äquivalente Bedingung $\frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a} \le 1$ (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)) gilt:

	$\displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)}$
=	$\displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot 2\cdot\frac{1-\frac{x-a}{b-a}}{1-\frac{c-a}{b-a}}}$	(Definition der Dichtefunktion der Standard-Dreiecksverteilung)
=	$\displaystyle{\frac{2}{b-a}\cdot\frac{\frac{(b-a-x+a)}{b-a}}{\frac{(b-a-c+a)}{b-a}}}$
=	$\displaystyle{\frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}$
=	$\displaystyle{f_{D(a,b,c)}(x)}$	(Definition der Dichtefunktion der Dreiecksverteilung)

Damit ist die Behauptung für alle $x \,\in\, ]-\infty,\infty[ \, = \, ]-\infty,a[ \,\cup\, [a,c] \,\cup\, ]c,b] \,\cup\, ]b,\infty[ $ gezeigt.

Beweis des Korrolars

	$\displaystyle{F_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)}$
=	$\displaystyle{\int_{-\infty}^x \! F'_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{t-a}{b-a}\right) \, \mathrm{d} t}$	(Fundamentalsatz der Analysis)
=	$\displaystyle{\int_{-\infty}^x \! \frac{1}{b-a}}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{t-a}{b-a}\right) \, \mathrm{d} t $	(Definition der Verteilungsfunktion der standardisierten Dreiecksverteilung, Kettenregel)
=	$\displaystyle{\int_{-\infty}^x \! f_{D(a,b,c)}(t) \, \mathrm{d} t}$	(obiger Satz)
=	$\displaystyle{F_{D(a,b,c)}(x)}$	(Definition der Verteilungsfunktion der allgemeinen Dreiecksverteilung)

Quellen

1. Autor des Beweises: Wolfgang Kowarschick
2. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)

Siehe auch

1. Wikipedia:Affine_Transformation