Heiberg, J. L. (1891): Apollonii Pergaei Quae Graece Exstant Cum Commentariis Antiquis

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Heiberg (1891): Apollonios von Perge und Johan Ludvig Heiberg; APOLLONII PERGAEI QUAE GRAECE EXSTANT CUM COMMENTARIIS ANTIQUIS; Verlag: B. G. Teubner Verlag; Adresse: Lipsiae; Web-Link 0, Web-Link 1, Web-Link 2, Web-Link 3; 1891; Quellengüte: 5

1 Attribute

KürzelHeiberg (1891)
QuellenartBuch
Autor(en)Apollonios von Perge, Johan Ludvig Heiberg
TitelAPOLLONII PERGAEI QUAE GRAECE EXSTANT CUM COMMENTARIIS ANTIQUIS
VerlagB. G. Teubner Verlag
AdresseLipsiae
URLhttps://search.library.utoronto.ca/details?948531&uuid=e3776d62-56cb-4a40-b61c-7312c00d31ae, https://archive.org/details/apolloniipergaei01apoluoft, https://catalog.hathitrust.org/Record/000448660, https://openlibrary.org/works/OL2038220W/Apollonii Pergaei quae graece exstant cum commentariis antiquis
SpracheGriechisch, Lateinisch
Jahr1891
Datum1891
Quellengüte5

2 BibTeX

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3 Zitiert durch

4 Ausschnitte

Konika, Band 1, Definition der Begriffe „Durchmesser“, „Scheitel“ und „Ordinate“ (griechisch); Screenshot aus https://archive.org/details/apolloniipergaei01apoluoft

Apollonios von Perge definert hier die Begriffe Durchmesser (von Kegelschnitten), Scheitel und Ordinate (Übersetzung: siehe übernächste Abbildung).

(Freie) Übersetzung von Balsam

Von jeder in einer Ebene befindlichen krummen Linie nenne ich einen Durchmesser eine solche Gerade, welche, von der krummen Linie ausgehend, alle mit einer gewissen Linie parallelen Sehnen, die in derselben gezogen werden, halbirt.

[...] Scheitel den Endpunkt des Durchmessers, der sich in der krummen Linie befindet.

[...] Jede der erwähnten parallelen Linien eine zu dem Durchmesser gehörige Ordinate.[1]
Konika, Band 1, Definition der Begriffe „Durchmesser“, „Scheitel“ und „Ordinate“ (griechisch, mit Markierung); Screenshot aus https://archive.org/details/apolloniipergaei01apoluoft

Zur Verdeutlichung wurden die drei von Apollonios definierten altgriechischen Begriffe

  • διάμετροv (Durchmesser, διάμετρος: Pons)
  • ϰοϱυφήv (Gipfel, Scheitel, κορυφή: Pons)
  • τεταγμένως (geordnet, τεταγμένος: perseus.uchicago.edu)

gelb markiert.

Konika, Band 1, Definition der Begriffe „Durchmesser“, „Scheitel“ und „Ordinate“ (lateinisch); Screenshot aus https://archive.org/details/apolloniipergaei01apoluoft

Übersetzung von Kowarschick

Für jede gekrümmte Linie, die in einer Ebene liegt, bezeichne ich als Durchmesser diejenige gerade Linie, die von der gekrümmten Linie ausgehend gezogen wird und die alle geraden Linien, die parallel zu einer geraden Linie sind, in zwei gleiche Teile zerschneidet,
und ich bezeichne das Ende des Durchmessers auf der gekrümmten Linie als Scheitel,
und ich bezeichne diese Parallelen als Ordinaten des Durchmessers.
Konika, Band 1, Definition der Begriffe „Durchmesser“, „Scheitel“ und „Ordinate“ (lateinisch, mit Markierung); Screenshot aus https://archive.org/details/apolloniipergaei01apoluoft

Heiberg übersetzt die Begriffe τεταγμένως, τεταγμένως und άποτεμvόμεναι folgendermaßen:

Konika, Band 1, Satz 20 (Behauptung); Screenshot aus https://archive.org/details/apolloniipergaei01apoluoft

Übersetzung von Konika, Band 1, Satz 20 (Balsam (1861))

Die Quadrate zweier Ordinaten, die an denselben Durchmesser einer Parabel gezogen sind, verhalten sich wie die Abschnitte desselben vom Scheitel bis zu den Fusspunkten.[1]

Konika, Band 1, Satz 20 (Behauptung, mit Markierungen); Screenshot aus https://archive.org/details/apolloniipergaei01apoluoft

In diesem Satz werden die Begriffe

verwendet.

Konika, Band 1, Satz 20 (Behauptung, mit Markierungen); Screenshot aus https://archive.org/details/apolloniipergaei01apoluoft

Aus den Begriffen τεταγμένως und άποτεμvόμεναι leiten sich die Begriffe Ordinate (lateinisch: geordnet; frag-caesar.de) und Abszisse (von abscidere, lateinisch: abschneiden; frag-caesar.de) ab. Der Begriff τεταγμένως wurde von Apollonios explizit eingeführt (siehe oben), der Begriff άποτεμvόμεναι beschreibt nur, dass sich die gewünschte Strecke (eben die Abszisse) durch Abschneiden der Linie, die vom Scheitelpunkt ausgeht, ergibt. Diese Beschreibung hat sich im Laufe der Zeit zum Substantiv „Abszisse“ weiterentwickelt (vgl. Memus (1537) und Commandino (1566)).

Konika, Band 1, Satz 20 (Beweis); Screenshot aus https://archive.org/details/apolloniipergaei01apoluoft

Im griechischen Originaltext wird der Beweis ohne Formelsprache geführt.

Konika, Band 1, Satz 20 (Beweis, mit Markierungen); Screenshot aus https://archive.org/details/apolloniipergaei01apoluoft

Apollonios verwendet ungeordnete Paare, um Linien zu beschreiben, und ungeordnete Tripel für die Beschreibung von Rechtecken. Dass es ihm auf die Anordnung der Punkte nicht ankomme, sieht man an den letzten beiden Paaren: Bei der Abszisse $ZA$ wird der Scheitelpunkt $A$ zuletzt genannt, bei der Abszisse $AE$ dagegen zuerst.

Konika, Band 1, Satz 20 (Beweis); Screenshot aus https://archive.org/details/apolloniipergaei01apoluoft

Heiberg bedient sich bei der Übersetzung des Beweises einer Formelsprache, die Apollonios noch unbekannt war.

Übersetzung von Kowarschick

Es sei eine Parabel gegeben, deren Durchmesser $AB$ ist, und auf dieser seien zwei beliebige Punkte $Γ$, $Δ$ angenommen und von $Γ$, $Δ$ seien die Ordinaten $ΓE$, $ΔZ$ zu $AB$ gezogen. Ich sage, dass $ΔZ^2 : ΓE^2 = ZA : AE$ gilt.
Es sei $AH$ der Parameter [Anm: Das ist die Sehne senkrecht zum Durchmesser, die durch den Brennpunkt geht].
Es ist also [Satz 11] $ΔZ^2 = ZA \times AH,\; ΓE^2 = EA \times AH$.
Weshalb $ΔZ^2 : ΓE^2 = ZA \times AH : EA \times AH$.
Es ist andererseits $ZA \times AH : EA \times AH = ZA : AE$.
Folglich gilt auch $ΔZ^2 : ΓE^2 = ZA : AE$.
Konika, Band 1, Satz 20 (Behauptung und Beweis); Screenshot aus https://archive.org/details/apolloniipergaei01apoluoft

Der vollständige Satz 20 aus Band 1 der Konika auf Latein, einschließlich einer Illustration, die im griechischen Text (von Heiberg) nicht vorhanden ist. Ob die Orginalschriften Illustrationen enthielten oder nicht, ist (zumindest mir) unbekannt.

5 Quellen

  1. 1,0 1,1 Balsam (1861): Apollonios von Perge, Edmond Halley und Paul Heinrich Balsam; Des Apollonius von Perga sieben Bücher über Kegelschnitte nebst dem durch Halley wieder hergestellten achten Buche; Band: 1; Verlag: Verlag von Georg Reimer; Adresse: Berlin; Web-Link 0, Web-Link 1, Web-Link 2; 1861; Quellengüte: 5 (Buch)