Junktor
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Definition (Brockhaus)[1]
Logik: eine log. Partikel, mit deren Hilfe endlich viele Aussagen zu einer neuen Aussage verknüpft werden. Beispiele sind die Abjunktion, die Adjunktion, die Bijunktion, die Konjunktion, die Subbjunktion und die Negation. Alle zweistelligen J. lassen sich auf den Sheffer-Strich zurückführen.
Definition (Bronstein, Semendjajew)[2]
Sind $A_1$, $A_2$ Aussagen, so lassen sich durch sprachliche Verbindungen daraus neue Aussagen gewinnen: „nicht $A_1$“, „$A_1$ und $A_2$“, „$A_1$ oder $A_2$“, „wenn $A_1$, so $A_2$“, „$A_1$ genau dann, wenn $A_2$“, deren Wahrheitswert nur von den Wahrheitswerten der in ihnen vorkommenden Teilaussagen abhängt (Externsionalitätsprünzip der Aussagenlogik).
Definition (Menne)[3]
Albert Menne nennt Funktoren, „die Aussagen umformen oder verbinden zu einer neuen Aussage“ Aussagefunktoren. Er unterscheidet zwischnen monadischen (einstelligen), dyadischen (zweistelligen) und triadischen (dreistelligen) Aussagefunktoren.
Anmerkung
Menne weißt daraufhin, dass dyadische Aussagefunktoren von Paul Lorenzen[4] Junktoren genannt werden. In der nachfolgenden Definition von Kowarschick wird dagegen nicht zwischen Aussagefunktoren und Junktoren unterschieden.
Definition (Metametasprache „Deutsch“, Kowarschick)
Unter einem Junktor (Aussageverknüpfung, Aussagefunktor) versteht man einen Funktor mit dessen Hilfe endlich viele Aussagen zu einer neuen Aussage verknüpft werden. Der Wahrheitswert der neuen Aussage hängt nur von den Wahrheitswerten der zugehörigen Teilaussagen ab.
Ein Junktor heißt $n$-stellig, wenn er genau $n$ Aussagen zu einer neuen Aussage verknüpft.
Die Semantik eines Junktors wird mit Hilfe einer sogenannten Wahrheitstafel festgelegt. Eine Wahrheitstafel definiert für jede mögliche Komibnation von Wahrheitswerten den Ergebnis-Wahrheitswert des Junktors.
Anmerkung
In den nachfolgenden Abschnitten Junktoren der zweiwertigen Logik und Junktoren der dreiwertigen Logik wird die Semantik mehrerer wichtiger Junktoren mit Hilfe von Wahrheitstafeln definiert.
Definition (Objektsprache „Mengenlehre“, Kowarschick)
Es sei $W$ eine Menge von Wahrheitswerten, d.h., $W$ sei endlich und habe mindenstens zwei Elemente:
Es sei überdies $n$ eine natürliche Zahl:
Eine Funktion $j$ mit Definitionsbereich $W^n$ und Wertebereich $W$, d.h. eine Funktion, die einem $n$-Tupel von Wahrheitswerten einen neuen Wahrheitswert zuweist, wird $n$-stelliger Junktor genannt:
Die Menge $\mathbb{J_{W,n}} := \{j|j: W^n \rightarrow W\}$ heißt Menge aller $n$-stelligen Junktoren über die Wahrheitswerte $W$.
Die Menge $\mathbb{J_n} := \mathbb{J_{\{\rm{T},{F}\},n}}$ heißt Menge aller $n$-stelligen Junktoren. Die zugehörigen Wahrheitswerte sind die Wahrheitswerte der klassischen zweiwertigen Logik.
Anmerkung
Bei $\mathbb{J_{W,n}}$ handelt es sich tatsächlich um eine Menge und nicht um einen Unmenge, da $W$ und $n$ Mengen sind.
TO BE DONE
- Entsprechenden Satz in Wiki einfügen und zitieren.
Bemerkungen
Mehrwertige Logiken
Alle der obigen Definitionen sind im Falle von mehrwertigen Aussagelogiken – auch falls dies von den zitierten Autoren nicht erwähnt wird – ebenfalls gültig, d.h. im Falle von Aussagelogiken, denen mehr als die beiden Wahrheitswerte wahr und falsch zu Grunde liegen. Beispielsweise wurde für SQL eine dreiwertige Logik spezifiziert mit den Wahrheitswerten wahr, falsch und unbekannt.
Logik und Mengenlehre: Ein Henne-Ei-Problem
Die letzten beiden Definitionen unterscheiden sich hinsichtlich der Sprachebene. Zum einen wurden Junktoren mit Hilfe der Metametasprache „Deutsch“ definiert und zum anderen mit Hilfe der Objektsprache der „Mengenlehre“. Der Gund ist, dass es bei der Definition der Logik und der DEfinition der Mengenlehre ine klassisches Henne-Ei-Problem gibt. Man schlage irgendein beliebiges „moderners“ Lehrbuch der Mengenlehre auf: Dort wird die Prädikatenlogik 1. Stufe als gegeben vorausgesetzt (siehe z.B. Ebbinghaus oder Schmidt). Öffnet man umgekehrt ein „moderners“ Lehrbuch der Logik, wird dort die Menngenlehre als bekannt vorausgesetzt (siehe z.B. Shoenfield oder Güntzer et. al.).
Aus diesem Grund wurden zwei Definitionen angegeben: Ein informelle, die zur Formalisierung der Mathematik verwendet werden kann, und eine formale, die beispiels zum Beweis von Eigenschaften mit Hilfe der Mengenlehre eingesetzt weren kann.
Eigenschaften
Satz: Anzahl der Junktoren
Für eine $m$-wertige Aussagelogik gibt es $m^{m^n} = m^{(m^n)}$ $n$-stellige Junktoren:
Anmerkung
Die Aussage stimmt auch für eine Menge mit nur einem Wahrheitswert ($m=1$). Allerdings gibt es für eine derartige Menge keine praktische Anwendung in der Logik. Der Fall $m=0$ wird nicht weiter betrachtet, da er genauso sinnlos ist wie der Fall $m=1$ und da man dann eine Festlegung treffen müsste, welchen Wert $0^0$ haben soll.
Beweis
Die Menge $\{f|f: A \rightarrow B\} $ aller Funktionen $f: A \rightarrow B$ hat die Mächtigkeit $|B|^{\,|A| }$(Ebbinghaus, S. 80, Satz 3.8, (iii)).
Die Menge $\mathbb{J}_{W,n} = \{j|j: W^n \rightarrow W\} $ aller $n$-stelligen Junktoren hat also die Mächtigkeit $|W|^{\,|W^n| }\rm{.}$
Da laut Voraussetzung $|W| = m$ und damit $|W^n| = m^n$ (Ebbinghaus, S. 80, Satz 3.8, (ii)),
ist die Aussage bewiesen: $|\mathbb{J}_{W,n}| = m^{(m^n)}$
Junktoren der zweiwertigen Logik
Nullstellige Junktoren
Es gibt insgesamt zwei ($2^{2^{0}}$) nullstellige (konstante) Junktoren.
| Namen | Symbol | Wahrheitswerte |
|---|---|---|
| Verum | $ \top $ | W |
| Falsum | $ \bot $ | F |
Einstellige Junktoren
Es gibt insgesamt vier ($2^{2^{1}}$) einstellige Junktoren. Zwei dieser Junktoren bilden die beiden nullstelligen Junktoren nach und erhalten daher keine eigenen Symbole.
| Namen | Symbole | Wahrheitswerte | |
|---|---|---|---|
| $ a $ W |
$ a $ F | ||
| Identität | $ \rm{id}(a) $ | W | F |
| Negation | $ \lnot a $, $ {\sim}a $, $ \overline a $ | F | W |
| Namen | Wahrheitswerte | |
|---|---|---|
| $ a $ W |
$ a $ F | |
| Verum | W | W |
| Falsum | F | F |
Zweistellige Junktoren
Es gibt insgesamt sechszehn ($2^{2^{2}}$) zweistellige Junktoren. Sechs dieser Junktoren bilden die nullstelligen bzw. einstelligen Junktoren nach und erhalten daher (zumindest in diesem Wiki) keine eigenen Symbole.
| Namen | Symbole | Wahrheitswerte | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
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| ||||||||||||||||||
| Konjunktion | $ a \wedge b $ | W | F | F | F | ||||||||||||||||
| Disjunktion, Adjunktion | $ a \vee b $ | W | W | W | F | ||||||||||||||||
| Subjunktion, Implikation | $ a \rightarrow b $ | W | F | W | W | ||||||||||||||||
| Konversion | $ a \leftarrow b $ | W | W | F | W | ||||||||||||||||
| Bijunktion | $ a \leftrightarrow b $ | W | F | F | W | ||||||||||||||||
| Sheffer-Strich, NAND | $ a \mid b $, $ a \barwedge b $ | F | W | W | W | ||||||||||||||||
| Peirce-Funktion, NOR | $ a \overline\vee b $ | F | F | F | W | ||||||||||||||||
| Kontravalenz, XOR | $ a \not\leftrightarrow b $, $ a \,\dot\vee\, b $ | F | W | W | F | ||||||||||||||||
| Postsektion, Nur a | $ a \not\rightarrow b $ | F | W | F | F | ||||||||||||||||
| Präsektion, Nur b | $ a \not\leftarrow b $ | F | F | W | F | ||||||||||||||||
| Namen | Wahrheitswerte | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
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| |||||||||||||||||
| Verum | W | W | W | W | ||||||||||||||||
| Falsum | F | F | F | F | ||||||||||||||||
| Identität von $ a $ | W | W | F | F | ||||||||||||||||
| Identität von $ b $ | W | F | W | F | ||||||||||||||||
| Negation von $ a $ | F | F | W | W | ||||||||||||||||
| Negation von $ b $ | F | W | F | W | ||||||||||||||||
Junktoren der dreiwertigen Logik
Nullstellige Junktoren
Es gibt insgesamt drei ($3^{3^{0}}$) nullstellige (konstante) Junktoren:
| Namen | Symbol | Wahrheitswerte |
|---|---|---|
Verum, TRUE |
$ \top $ | W |
Incertum, UNKNOWN |
$ U $ | U |
Falsum, FALSE |
$ \bot $ | F |
Die Bezeichnung „Incertum“ für den Wahrheitswert „U“ = „unbestimmt“ wurde von Wolfgang Kowarschick eingeführt. Manchmal steht „U“ aber auch für „unbekannt“. In diesem Fall wäre die Bezeichnung „Ingnotum“ besser.
Einstellige Junktoren
Es gibt insgesamt 27 ($3^{3^{1}}$) einstellige Junktoren. Allein für die Negation und die Identität gibt es jeweils schon drei mögliche Varianten:
| Namen | Symbole | Wahrheitswerte | identisch zu | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $ a $ T |
$ a $ U |
$ a $ F |
|||
| starkes Nicht | $\lnot a$, NOT a |
F | U | T | |
| schwaches Nicht, ist nicht wahr | ${\sim}a$ | F | T | T | |
| $-a$ | F | F | T | ${\sim}{\sim}\lnot a$, ${\lnot}{\sim}\lnot a$ | |
| Namen | Symbole | Wahrheitswerte | identisch zu | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $ a $ T |
$ a $ U |
$ a $ F |
|||
| Identität | $\rm{id}(a)$ | T | U | F | $\lnot\lnot a$ |
| $\rm{idT}(a)$ | T | T | F | ${\sim}\lnot a$, $\lnot{-}a$, ${-}\lnot a$, ${-}{-}a$ | |
| $\rm{idF}(a)$ | T | F | F | $\lnot{\sim}a$, ${\sim}{\sim}a$, ${-}\lnot a$, ${-}{\sim}a$ | |
Mit Hilfe der starken und der schwachen Negation, lassen sich alle sechs der obigen Junktoren nachbilden. In den meisten Fällen reicht die einfache oder die doppelte Negation, nur für $-a$ braucht man die dreifache Negation. (Die dreifache Negation ist auch im Bayerischen weit verbreitet: „I dring nia koa Wossa ned.“ :-) )
Darüber hinaus gibt es sechs einstellige Junktoren, um zu überprüfen, ob eine Aussage einen bestimmten Wert hat bzw. nicht hat:
| Namen | Symbole | Wahrheitswerte | identisch zu | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $ a $ T |
$ a $ U |
$ a $ F |
|||
| ist wahr, is true | $\rm{isT}(a)$, a IS TRUE |
T | F | F | $\rm{idF}(a)$ |
| ist unbekannt, ist unbestimmt, is unknown | $\rm{isU}(a)$, a IS UNKNOWN |
F | T | F | |
| ist falsch, is false | $\rm{isF}(a)$, a IS FALSE |
F | F | T | $-a$ |
| Namen | Symbole | Wahrheitswerte | identisch zu | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $ a $ T |
$ a $ U |
$ a $ F |
|||
| ist nicht wahr, is not true | $\rm{isNT}(a)$, a IS NOT TRUE |
F | T | T | ${\sim}a$ |
| ist bekannt, is known | $\rm{isNU}(a)$, $\rm{isK}(a)$, a IS NOT UNKNOWN |
T | F | T | $\lnot\rm{isU}(a)$, ${\sim}\rm{isU}(a)$, $-\rm{isU}(a)$ |
| ist nicht falsch, is not false | $\rm{isNF}(a)$, a IS NOT FALSE |
T | T | F | $\rm{idT}(a)$ |
Vier dieser Junktoren stimmen mit zuvor definierten Identitäts- und Negationsjunktoren überein. Die Junktoren $\rm{isU}$ und $\rm{isK}$ sind dagegen neu. Das heißt, sie können nicht mit den zuvor definierten Junktoren nachgebildet werden.
Daraus folgt, dass beispielsweise die starke Negation ($\lnot$), die schwache Negation ($\sim$; = Test auf Unwahrheit $\rm{isNT}$) und der Test auf Unbestimmtheit ($\rm{isU}$) ausreichen, um alle acht der bislang definierten einstelligen Junktoren nachzubilden.
Gemäß Standard unterstütz SQL dreiwertige Logik. Folgende sieben der zuvor acht definierten einstelligen Junktoren gibt es (nur der Identitätsjunktor fehlt):[5]
NOT($\lnot$)IS TRUE($\rm{isT}$),IS NOT TRUE($\rm{isNT}$)IS UNKNOWN($\rm{isU}$),IS NOT UNKNOWN($\rm{isNU}$)IS FALSE($\rm{isF}$),IS NOT FALSE($\rm{isNF}$)
Zweistellige Junktoren
Es gibt insgesamt 19683 ($3^{3^{2}}$) zweistellige Junktoren. Das heißt, eine vollständige Analyse aller denkbaren Junktoren ist nicht nur sehr zeitauswändig, sondern auch noch ziemlich sinnleer.
Daher sollen nur ein paar sinnvolle Erweiterungsmöglihkeiten der wichtigsten zweistelligen Junktoren betrachtet werden. In SQL werden beispielsweise folgende Erweiterungen der zweiwertigen Konjunktion, der zweiwertigen Disjunktion und der zweiwertigen Bijunktion eingesetzt:[5]
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Diesen Wahrheitstafeln, die auf Kleene[6] zurückgehen, liegen fogende Überlegungen zugrunde:
- Die Konjunktion zweier Wahrheistwerte ist nur dann wahr, wenn beide Werte wahr sind. Ist nur einer der beiden Werte falsch, ist die Konjunktion falsch, unabhängig vom anderen Wert. In allen anderen Fällen ist der Wahrheitswert unbekannt.
- Die Konjunktion zweier Wahrheistwerte ist nur dann falsch, wenn beide Werte falsch sind. Ist nur einer der beiden Werte wahr, ist die Disjunktion wahr, unabhängig vom anderen Wert. In allen anderen Fällen ist der Wahrheitswert unbekannt.
Quellen
- ↑ Brockhaus (1990, IT-KIP): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 11, IT-KIP; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1111-1; 1990; Quellengüte: 5 (Buch)
- ↑ Bronstein, Semendjajew (1979): I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew; Taschenbuch der Mathematik; Hrsg.: G. Grosche und V. Ziegler; Auflage: 19; Verlag: BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft und Nauka-Verlag; Adresse: Leipzig, Moskau; ISBN: 3871444928; 1979; Quellengüte: 5 (Buch), Seite 588
- ↑ Menne (1973): Albert Menne; Einführung in die Logik; Reihe: Uni-Taschenbücher; Nummer: 34; Auflage: 2; Verlag: Francke Verlag; Adresse: München; ISBN: 3-7720-0005-3; 1973; Quellengüte: 5 (Buch), S. 33, S. 35
- ↑ Lorenzen (1958): Paul Lorenzen; Formale Logik; Verlag: Walter de Gruyter GmbH; Adresse: Berlin; 1958; Quellengüte: 5 (Buch)
- ↑ 5,0 5,1 Gulutzan, Pelzer (1999): Peter Gulutzan und Trudy Pelzer; SQL-99 complete, Really – An Example-Based Reference Manual of the New Standard; Verlag: R&D Books; ISBN: 0-87930-568-1; 1999; Quellengüte: 5 (Buch)
- ↑ Kleene (1938): Stephen Cole Kleene; On Notation for Ordinal Numbers; in: Journal Symbolic Logic; Nummer: 3; Seite(n): 150-155; Web-Link; 1938; Quellengüte: 5 (Artikel)
