Algebraische Struktur

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Definition: Algebraische Struktur (Wolfgang Kowarschick)

Ein Paar $ \mathcal{A} = (A, (d_i)_{i \in I}) $ heißt Algebraische Struktur oder Universelle Algebra, wenn:

• $ A $ ist eine Menge oder Klasse, die so genannte Trägermenge
• $ I $ ist eine nicht-leere Indexmenge
• $ (d_i)_{i \in I} $ ist eine Familie von Deskriptoren algebraischer Operationen
  mit $ d_i = (o_i, A, n_i, B_i) $ für alle $ i \in I $.

Die Funktionen $ o_i $ der algebraischen Struktur sind also $ n_i $-stellige algebraischer Operationen über der Tägermenge $ A $ mit dem Operationsbereich $ B_i $:

$ o_i: A^{n_i} \rightarrow_p A, $	$ \text{falls }B_i = \emptyset $
$ o_i: B_i \times A^{n_i} \rightarrow_p A, $	$ \text{falls }B_i \not= \emptyset $

Bemerkungen

An Stelle von Algebraische Struktur sagt man häufig kurz Algebra.

Gellert, Kästner, Neuber (1979) merken an, dass bei der Definition des Begriffs algebraische Struktur partielle algebraische Operationen zugelassen sein können. Dies ist hier (in diesem Wiki) aufgrund der Definition des Begriffes Algebraische Operation automatisch gegeben.

Asser (1980) fordert, dass eine algebraische Struktur auch Konstanten ($ \in A $) und Relationen über $ A $ (d.h. Teilmengen von $ A^n $, $ n \in \mathbb{N} $) enthalten darf. Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen $ k: A^0 \rightarrow A $ als Konstanten aufgefasst werden können und auch Relationen durch Funktionen

$ r: A^n \rightarrow \{a_1, a_2\}\,\,\,(a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2) $

oder partielle Funktionen

$ r: A^n \rightarrow_p \{a\}\,\,\,(a \in A) $

nachgebildet werden können.

Meyberg (1980) definiert algebraische Strukturen allgemeiner als Gellert und Kästner sowie als Asser. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge $ A $ auf Elemente der Grundmenge $ A $ abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art:

$ o: B \times A \rightarrow A $

Äußere Verknüpfungen sind in diesem Wiki in der Definition des Begriffes algebraische Operation ebenfalls enthalten.

Alternative Schreibweise

Die Indexmenge $ \mathcal{I} $ ist sehr oft eine Menge von natürlichen Zahlen $ \{1,\ldots,k\} $. In diesem Fall notiert man eine algebraische Struktur i. Allg. nicht mit Hilfe einer Familie, sondern durch explizite Aufzählung. Beispielsweise wird eine Algebra

$ (A, \{(1, (o_1, A, n_1, \emptyset)), (2, (o_2, A, n_2, B_2))\}) $

normalerweise folgendermaßen notiert, wobei jeweils auch noch abgegeben wird, ob es sich um eine (echt-)partielle oder eine totale Funktion handelt:

$ (A, o_1, o_2) $, wobei $ o_1: A^{n_1} \rightarrow_p A $ und $ o_2: B_2 \times A^{n_2} \rightarrow A $

Beispiele

• Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der üblichen Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur, ein so genanntes Monoid, bei der alle algebraischen Operationen total sind: $ (\mathbb{N}, +, \cdot) $, wobei $ +:\mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N} $ und $ \cdot:\mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N} $.
• Die Ordinalzahlen bilden zusammen mit der üblichen Addition und der Multiplikation ebenfalls ein so genanntes Monoid, bei der alle algebraischen Operationen total sind: $ (\Omega, +, \cdot) $, wobei $ +:\Omega^2 \rightarrow \Omega $ und $ \cdot:\Omega^2 \rightarrow \Omega $.
• Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation eine algebraische Struktur mit einer echt-patiellen algebraischen Operation: $ (\mathbb{N}, +, -, \cdot) $, die Subtraktion ist lediglich eine partielle algebraische Operation: $ -:\mathbb{N}^2 \rightarrow_p \mathbb{N} $.
• Für eine Relationale Algebra sind i. Allg. abzählbar viele algebraische Operationen definiert.

Verschiedene Typen algebraischer Strukturen

• Magma
  • Halbgruppe
    • Monoid
      • Gruppe
        • Abelsche Gruppe = Kommunikative Gruppe
  • Quasigruppe
    • Loop
      • Gruppe
        • Abelsche Gruppe = Kommunikative Gruppe
• Halbring
  • Ring
    • Kommutativer Ring
      • Körper
• Verband
  • Modularer Verband
    • Distributiver Verband
      • Komplementärer Distributiver Verband = Boolesche Algebra
        • Boolesche σ-Algebra
      • Ereignisalgebra = Mengenalgebra
        • σ-Algebra
• Hyperkomplexes System = Algebra über einen Ring (oft auch nur: Algebra)
  • Vektorraum
• Relationale Algebra

Quellen

4. Brockhaus (1986, A-APT): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 1, A-APT; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1101-4; 1986; Quellengüte: 5 (Buch)

TO BE DONE

Universal Algebra, George Grätzer