Geordnetes Paar: Definition von Frege

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Der Mathematiker und Philosoph Gottlob Frege gilt als Begründer der modernen Logik. Beispielsweise sagt Kutschera (1989, S. 4), es sei „auch nicht übertrieben, wenn man ihn oft als den bedeutendsten Logiker nach Aristoteles bezeichnet“. Zu Lebzeiten fand Frege jedoch kaum Anerkennung.

Der Artikel „Geordnetes Paar“ befasst sich mit der Geschichte und den wichtigsten Definitionen des „geordneten Paares“. Die älteste mir bekannte Definition, die den Paar-Begriff auf zuvor definierte Grundbegriffe zurückführt, ist die Definition von Frege.

Da die Symbolik, die Frege verwendet, ungewöhnlich ist (dies war auch einer der Gründe, warum er wenig anerkennung fand), ist seine Definition nicht ohne Weiters zu verstehen. Im Folgenden soll daher versucht werden, diese Definition etwas zu veranschaulichen.

Frege (1893)

Definition des geordneten Paars, Frege (1893), §144, S. 179

Wir definiren nun das Paar so:

$\Vdash\acute{\epsilon}(o \frown (a \frown \epsilon)) = o \;;\; a$

Das Semikolon ist hierbei zweiseitiges Functionszeichen. (Frege (1893), §144, S. 179)

Probleme mit dem Verständnis von Freges Definition

Freges Definition ist nicht zu verstehen, wenn man seine Symbolik nicht kennt oder falsch interpretiert. Zum Beispiel merkt Richard Heck zu dieser Definition fälschlicherweise an, dass weder mengentheoretisch noch mit Hilfe der Prädikatenlogik zweiter Ordnung konsistent nachgebildet werden kann:

Unfortunately, Frege's definition of ordered pairs is, as George Boolos once put it, extravagant and can not be consistently reconstructed, either in second-order logic or in set-theory.

Auch ist nicht notwendigerweise jeder Versuch, diese Definition in eine moderne Form zu zu bringen, von Erfolg gekrönt. Randall Dipert übersetzt Freges Definition beispielsweise folgendermaßen:

$<x,y> := \{x,\{y\}\}$

Er merkt an, dass diese Definition falsch ist, weil z.B. die Paare $<\{\{c\}\}, c>$ und $<\{c\}, \{c\}>$ nicht unterschieden werden könnten, da sie beide durch $\{\{\{c\}\}, \{c\}\}$ repräsentiert würden. Das stimmt zwar, ist aber nicht Freges Definition anzulasten, sondern Diperts falscher Interpretation dieser Definition.

Gottlob Frege definiert das Paar $o \;;\; a$ mit Hilfe des „Werthverlaufs“ $\acute{\epsilon}\phi(\epsilon)$ einer speziellen Funktion $\phi$, und der „Function $\xi \frown \zeta$ mit zwei Argumenten“ (Frege (1893, §9 und §34)). Da Frege der Funktion $\frown$ keinen Namen gibt, soll diese im Folgenden „Frown“ heißen (in Anlehnung an den Namen des LaTeX-Symbols, mit dem sie in diesem Beitrag dargestellt wird).

Wesentlich für das Verständnis von Freges Definition ist, die Bedeutung des Wertverlaufs einer Funktion und die Frown-Funktion zu kennen. Auch hier leitet die Literatur einen leicht in die Irre. Beispielsweise interpretiert Edward Zalta (2014, Abschnitt 2.3) die Frown-Operation als Element-Operation $\in$. Das ist richtig, falls $\zeta$ der Wertverlauf einer Prädikatsfunktion ist, d.h. einer Funktion, die jedes Element des Frege-Universums auf einen Wahheitswert abbildet. Eine derartige Funktion wird von Frege „Begriff“ genannt (Zalta verwendet die englische Übersetzung “concept”). Die Frown-Funktion von Frege ist allerdings nicht nur für Wertverläufe von „Begriffen“ definiert, sondern für Wertverläufe von beliebigen Funktionen. Das heißt, i. Allg. kann man $\frown$ nicht mit $\in$ gleichsetzen.

Wertverlauf und Frown-Funktion

Freges Definition

$\Vdash\acute{\epsilon}(o \frown (a \frown \epsilon)) = o \;;\; a$

enthält drei unübliche Symbol, deren Bedeutungen im Folgenden näher beleuchtet werden: $\Vdash$, $\acute\cdot$ und $\frown$.

Der Definitiondoppelstrich

$\Vdash$ ist der „Definitionsdoppelstrich“, der von Frege als Erweiterung des „Urtheilstrich“s $\vdash$ definiert wird (Frege (1893, §27 und §5)). Das Symbol $\vdash$ wird in der Logik heute noch als „Herleitungs“-/„Ableitungs“- bzw. „Inferenzoperator“ verwendet (siehe z.B. den Abschnitt „Das Paaraxiom“). Dieser Doppelstrich sagt lediglich aus, das der Term $o \;;\; a$ eine abkürzende Schreibweise für den Term $\acute{\epsilon}(o \frown (a \frown \epsilon))$ ist.

Der Wertverlaufsoperator

Der Operator $\acute\cdot$ wird von Frege genutzt, um den Wertverlauf einer Funktion zu beschreiben. Laut Kutschera (1989, S. 96) kann man den Wertverlauf $\acute{\epsilon}\phi(\epsilon)$ einer Funktion $\phi$ in heutigen Klassensystemen durch die Klasse $\{[\epsilon,y]: y=\phi(\epsilon)\}$ ausdrücken, wobei $[x,y]$ keine Frege-Paare, sondern für das zugrundeliegende Klassensystem geeignete geordnete Paare sind (Wiener-/Kuratowski-/Quine-/Morse-/Schmidt-Paare o. Ä.; siehe Artikel „Geordnetes Paar“). Für Frege sind Funktionen allerdings grundlegender als Klassen. Er wusste noch nicht, dass Klassen und der Paarbegriff ausreichen, um Relationen und Funktionen zu definieren. Daher ist „Werthverlauf“ für ihn ein Grundbegriff, der nicht definiert, sondern nur erläutert werden kann. In seinem Axiomensstem sind Funktionen (und deren Wertverläufe) undefinierte Grundbegriffe, mit deren Hilfe andere Gundbegriffe wie Klassen, Paare, natürliche Zahlen etc. definiert werden. Denselben Weg schlägt John von Neumann (1925) ein, wobei sich sein Axiomensystem in zwei wesentlichen Punkten von Freges Axiomensystem unterscheidet:

• Es erlaubt nicht die uneingeschränkte Bildung von Funktionen, so dass die Russellsche Antinomie (mit großer Wahrscheinlichkeit, aber nicht beweisbar) vermieden wird.
• Geordnete Paare werden axiomatisch eingeführt und nicht per Definition.

Überlicherweise werden heute allerdings meist mengen- oder klassenbasierte Systeme (Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre, Quine-Rosser-Mengenlehre etc.) zur Formalisierung der Mathematik eingesetzt. In diesen Systemen wird zwischen einer Funktion und ihrem Wertverlauf i. Allg. nicht mehr unterschieden. Im Gegenteil: Funktionen werden mit Hilfe von Wertverlaufsklassen definiert (siehe z.B. Schmidt (1966)): Eine Funktion $f$ ist eine Klasse von Paaren, wobei es keine zwei Paare $[x_1, y_1], [x_2, y_2] \in f$ gibt, für die $x_1 = x_2$, aber $y_1 \not= y_2$ gilt.

Da Funktionen (genauer: Wertverläufe von Funktionen) wesentlich für die Definition des Freges-Paares sind, können Funktionen nicht mit Hilfe des Frege-Paares definiert werden. Dies war aber auch nicht die Absicht von Frege. Er benötigte die Paare zur Konstruktion von reellen Zahlen (vgl. Frege (1903, §161 ff.), Kutschera (1989, S. 125)).

Um sich Frege-Paare zu veranschaulichen, kann man dennoch einen Trick anwenden: Man identifiziert Funktionen mit ihrem Wertverlauf (so wie das in Klassensystemen üblich ist). Das einzige Problem, das man sich dabei einhandelt, ist, dass Frege-Paare $a \;;\; b$ dann (in der modernen Version) mit Hilfe von anderen Paaren $[a,b]$ definiert werden. Das ist aber nichts Ungewöhnliches. So werden z.B. auch Morse-Paare mit Hilfe von Kuratwoski-Paaren definiert.

Frege betrachtet nicht nur arithmetische Funktionen, sondern auch Prädikatsfunktionen. Diese heißen bei ihm „Begriffe“ (Frege (1893, §3, S. 8)). Eine Pädikatsfunktion liefert für alle Argumente einen Wahrheitswert T oder F als Ergebnis. Frege bezeichnet diese Werte als „das Wahre“ und „das Falsche“. Wenn $\phi$ eine Prädikatsfunktion ist, die jedem Objekt im Frege-Universum einen Wahrheitswert zuordnet, kann der Wertverlauf von $\phi$ auch als Klasse aufgefasst werden, die alle Elemente (Frege: „Gegenstände“) $\epsilon$ enthält, für die $\phi(\epsilon)$ wahr ist. Der Wertvelauf $\acute{\epsilon}\phi(\epsilon)$ entspricht unter dieser Sichtweise der Klasse $\{\epsilon: \phi(\epsilon)\}$ (vgl. Kutschera (1989, Kapitel 6.4)). Insbesondere definiert Frege die leere Menge und einelementige Mengen mit Hilfe von Wertverläufen (führt dafür aber keine eigenen Symbole ein):

	moderne Definition	Freges Definition	Quellen
leere Menge	$\emptyset := \{x: x\not=x\}$	$\acute{\epsilon}\neg(\epsilon=\epsilon)$	Klasse, Frege (1893, S. 53, vorletzter Absatz)
Einermenge	$\{a\} := \{x: x=a\}$ oder $\{a\} := \{x: \rm{Mg}(a) \rightarrow x = a\}$	$\acute{\epsilon}(\epsilon=a)$	Klasse, Frege (1893, §11)
Extraktion des Elements einer Einermenge	Es sei $a$ eine Menge. $A =\{a\} \rightarrow \bigcup{A} = a$	Wenn $A =\acute{\epsilon}(\epsilon=a)$, dann $\backslash A = a$	Schmidt (1966, S72, 8.28), Frege (1893, §11)

Für alle Objekte $A$, die keine Einermenge sind, setzt Frege fest, dass $\backslash A = A$ gilt. Das heißt, für die leere Menge liefern $\bigcup$ und $\backslash$ ebenfalls dasselbe Ergebnis (nämlich die leere Menge). Für alle anderen Objekte $A$ unterscheiden sich die Ergebnisse von $\bigcup A$ und $\backslash A$ dagegen. Das ist für die Veranschaulichung der Frown-Funktion, die im nachfolgenden Abschnitt beschrieben wird, jedoch nicht von Belang, da bei der Definition diser Funktion nur die leere Menge und einelementige Mengen benötigt werden.

Definition der Frown-Funktion, Frege (1893, §34, S. 53)

Die Frown-Funktion

Frege definiert die Frown-Funktion folgendermaßen:

$\Vdash\backslash\acute{\alpha}(\neg\bigwedge g : u = \acute{\epsilon}g(\epsilon) \rightarrow \neg (g(a) = \alpha)) = a \frown u$

Dies kann man mit Hilfe der Operatoren $\bigvee$ und $\wedge$ (die Frege allerdings nicht explizit definiert und daher auch nicht explitizt verwendet), etwas einfacher ausdrücken (da $\neg \bigwedge g: a \rightarrow \neg b$ äquivalent zu $\bigvee g: a \wedge b $ ist):

$\Vdash\backslash\acute{\alpha}(\bigvee g : u = \acute{\epsilon}g(\epsilon) \wedge g(a) = \alpha) = a \frown u$

In einem modernen Klassensystem kann man diese Definition – da es sich bei $\bigvee g : \ldots$ um eine Prädikatsfunktion handelt – folgendermaßen formulieren:

$a \frown u := \bigcup\{\alpha : \bigvee g : u = \acute{\epsilon}g(\epsilon) \wedge g(a) = \alpha\}$

(der Wertlauf $\acute{\epsilon}g(\epsilon)$ repräsentiert hier natürlich die Klasse $\{[\epsilon,y]: y=\phi(\epsilon)\}$)

Zwei Fälle sind zu unterscheiden: Entweder ist $u$ der Wertverlauf einer Funktion g, oder $u$ ist dies nicht. Im ersten Fall gilt:

$a \frown \acute{\epsilon}g(\epsilon) = \bigcup\{\alpha : g(a) = \alpha\} = g(a)$

Im zweiten Fall gilt:

$a \frown u := \bigcup\{\alpha : \bigvee g : u = \acute{\epsilon}g(\epsilon) \wedge g(a) = \alpha\} = \bigcup\{\alpha : \bot\} = \emptyset$

$a \frown u$ liefert also, falls u der Wertverlauf einer Funktion $g$ ist, den Wert der Funktion $g$ für das Argument $a$ als Ergebnis. Falls $u$ kein Wertverlauf ist, hat $a \frown u$ dagegen die leere Menge als Ergebnis. (vgl. Frege (1893, S. 53, letzter Absatz); Kutschera (1989, S. 104)).

Wenn $\phi$ wieder eine Prädikatsfunktion ist, entspricht der $\frown$-Operator dem heutigen Elementoperator $\in$:

$a \frown \acute{\epsilon}\phi(\epsilon) = \phi(a)$

entspricht dann in moderner Notation folgender Beziehung:

$a \in \{\epsilon: \phi(\epsilon)\} \leftrightarrow \phi(a)$

„Übersetzung“ von Freges Definition in „moderne“ Symbolik

TO BE DONE

Das heißt, man kann in modernen Klassensystemen Freges Paardefinition

$\Vdash\acute{\epsilon}(o \frown (a \frown \epsilon)) = o \;;\; a$

folgendermaßen formulieren:

$o \;;\; a$, ist eine Funktion, für die Folgendes gilt: $(o \;;\; a)(f) = f(a)(o)$

Insbesondere gilt daher:

$\begin{array}{lclclcl}

 a \frown \acute{\epsilon}\phi(\epsilon) & = & \backslash\acute{\alpha}(\bigvee g : \acute{\epsilon}\phi(\epsilon) = \acute{\epsilon}g(\epsilon) \wedge g(a) = \alpha) \\
                                         & = & \backslash\acute{\alpha}(\phi(a) = \alpha) \\
                                         & = & \phi(a)

\end{array} $

Nach diesen zahlreichen Vorbemerkungen, kann man sich Freges Definition nun folgendermaßen veranschaulichen:

Wenn man, wie zuvor erörtert wurde, eine Funktion mit ihrem Wertverlauf gleichsetzt ($\{\epsilon: \phi(\epsilon)\} \;\hat=\; \phi$), dann kann der $\frown$-Operator mit dem Funktionsaufruf-Operator $(\cdot)$ gleichgesetzt werden: $\phi(a) = a \frown \acute{\epsilon}\phi(\epsilon) \;\hat=\; a \frown \phi$.

Freges Definition

$\Vdash\acute{\epsilon}(o \frown (a \frown \epsilon)) = o \;;\; a$

kann man sich damit folgendermaßen veranschaulichen:

$o \;;\; a$ ist eine Funktion (ein Wertverlauf), für die $(o \;;\; a)(f) = f(a)(o)$ gilt, sofern f eine zweistellige Funktion ist. Für einstellige Funktionen und Nicht-Funktionen gilt dagegen $(o \;;\; a)(f) = \emptyset$.

Veranschaulichung von Freges Definition

Freges Definition

$\Vdash\acute{\epsilon}(o \frown (a \frown \epsilon)) = o \;;\; a$

kann man in modernen Klassensystemen im Prinzip durch folgende Definition nachbilden:

$o \;;\; a$ ist eine Funktion, mit $(o \;;\; a)(\epsilon) = \epsilon(a)(o)$.

Es fällt auf, dass der Paar-Begriff von Frege wesentlich auf dem Funktionbegriff basiert: Ein Frege-Paar ist eine Funktion, deren Definitionsbereich lauter zweistellige Funktionen enthält. (Genaugenommen ist der Definitionsbereich eines Frege-Paars gleich der Allklasse. Allerdings ist $o \frown (a \frown \epsilon))$ bei Frege gleich der leeren Menge, wenn $\epsilon$ kein Wertverlauf einer zweistelligen Funktion ist. Welchen Wert $\epsilon(a)(o)$ annimmt, falls $\epsilon$ keine zweistelltige Funktion ist, hängt vom zugrundeliegenden Klassensystem ab. Für die weiteren Betrachtungen ist es nicht von Bedeutung, welcher konkrete Wert dies ist, da nur zweistellige Funktionen betrachtet werden.)

Das Paaraxiom

Freges Paar-Begriff erfüllt das Paaraxiom, Frege (1893), Tafel der wichtigeren Lehrsätze, S. 248

Frege beweist mit Hilfe der von ihm definerten Axiome mehrere Paar-Eigenschaften. Die wichtigsten dieser Sätze sind (in moderner Notation, wobei das Symbol $\vdash$ der „Inferenzoperator“ ist):

$\vdash a = i \;\rightarrow\; (o = e \;\rightarrow\; o \;;\; a = e \;;\; i)\quad$ (Frege (1893), §155, Satz Nr. 251; Tafel der wichtigeren Lehrsätze, S. 248)

Wenn ein Gegenstand mit einem zweiten und ein dritter Gegenstand mit einem vierten zusammenfällt, so fällt das aus dem ersten und dritten bestehende Paar zusammen mit dem aus dem zweiten und vierten bestehenden.

$\vdash m \;;\; x = c \;;\; d \;\rightarrow\; x = d\quad$ (Frege (1893), §149, Satz Nr. 219; Tafel der wichtigeren Lehrsätze, S. 248)

Wenn ein Paar mit einem zweiten zusammenfällt, so fällt das zweite Glied des ersten mit dem zweiten Gliede des zweiten zusammen.

$\vdash m \;;\; x = c \;;\; d \;\rightarrow\; m = c\quad$ (Frege (1893), §149, Satz Nr. 220; Tafel der wichtigeren Lehrsätze, S. 248)

(ohne weitere Erörterungen von Frege)

Diese Eigenschaften zeigen, dass sein Paarbegriff das Paaraxiom erfüllt, welches explizit erst vier Jahre später von Giuseppe Peano formuliert wurde (vgl. Geordnetes Paar).