Geordnetes Paar

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Definition (Brockhaus)

Paar ... Mathematik: eine Menge, die aus zwei Elementen (der ersten und der zweiten Komponente) besteht, die zusätzlich in einer Ordnung stehen: $(a,b)$ ist i.a. verschieden von $(b,a)$.

Definition (Kowarschick)

Der Term $[a,b]$ heißt geordnetes Paar, wenn für den Operator $[\cdot,\cdot]$ das von Giuseppe Peano definierte Paaraxiom erfüllt ist:

Für alle Elemente $a$, $b$, $c$, $d$ gilt, dass die Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ genau dann gleich sind (in Zeichen $[a,b] = [c,d]$),

wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ einander gleich sind ($a=c$ und $b=d$).

Bedeutung des Paaraxioms

Geordnete Paare sind im Gegensatz zu Mengen tatsächlich geordnet. Bei Paarmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle ($\{a,b\} = \{b,a\}$). Bei Paaren kommt es dagegen aufgrund des Paaraxioms auf die Reihenfolge an:

$[a,b] = [b,a]$ genau dann, wenn $a = b$

Die Rückrichtung des Paaraxiom („Aus der Gleichheit von $a$ und $c$ sowie von $b$ und $d$ folgt die Gleichheit der beiden Paare $[a,b]$ und $[c,d]$“) ist trivialerweise immer erfüllt, sofern man die Gleichheit mit Hilfe des „Prinzips von der Identität des Ununterscheidbaren“ definiert.

Interessant ist daher vor allem die Aussage, dass aus der Gleichheit zweier Paare die Gleichheit der zugehörigen Elemente folgt. Dies hat zwei nicht nur zur Folge, dass – wie gesehen – die Elemente einer Paarmenge geordnet sind, sondern im Umkehrschluss (logische Kontraposition) auch, dass sich zwei Paare unterscheiden, sobald sie sich in mindestens Element unterscheiden:

Aus $a\not=c$ oder $b\not=d$ folgt $[a,b] \not= [c,d]$

Projektion

Für geordnete Paare kann man – wegen des Paaraxioms – zwei Projektionsoperationen $\pi_1$ und $\pi_2$ definieren, die das erste bzw. das zweite Element des Paars extrahieren:

$\pi_1([a,b]) = a\quad$ (das erste Element des jeweiligen Paars)

$\pi_2([a,b]) = b\quad$ (das zweite Element des jeweiligen Paars)

Insbesondere gilt damit für jedes Paar – wiederum wegen des „Prinzips von der Identität des Ununterscheidbaren“ – die Beziehung $[a,b] = [\pi_1([a,b]),\pi_2([a,b])]$.

Satz: Existenz und Eindeutigkeit der Projektionsoperationen

Wenn das Paaraxiom erfüllt ist, gibt es genau eine Operation $\pi_1$ und genau eine Operation $\pi_2$, die die zuvor definierten Eigenschaften haben.

Beweis

[ein-/ausklappen]

Eindeutigkeit:

Angenommen, es gäbe zwei Projektionsoperationen $\pi_1$ und $\pi'_1$ die das erste Paarelement extrahieren. Dann würde aus der zuvor definierten Eigeschaft von $\pi_1$ Folgendes folgen:

Für alle $a$, $b$ gilt $\pi_1([a,b]) = a = \pi'_1([a,b])$.

Das heißt, die beiden Operationen liefern für jedes Paar dasselbe Ergebnis. Damit sind beide Operationen (hinsichtlich des Abbildungsverhaltens von Paaren) identisch.

(Das heißt nicht, dass sich $\pi_1$ und $\pi'_1$ nicht hinsichtlich anderer Aspekte unterscheiden können. Zum Beispiel kann das Abbildungsverhalten hinsichtlich Nicht-Paaren unterschiedlich ausfallen, sofern dies Verhalten für eine oder gar beide Operationen definiert ist, oder die Operationen können mit Hilfe unterschiedlicher Verfahren (Algorithmen) zum selben Ergebnis kommen. Die Eindeutigkeit gilt daher nur, wenn das „Prinzip von der Identität des Ununterscheidbaren“ zum Einsatz kommt und man die Projektionsoperatoren stets nur auf Paare anwendet.)

Für $\pi_2$ zeigt man die Eindeutigkeit analog.

Existenz:

Bei $\pi_1$ und $\pi_2$ handelt es sich um Abbildungen, die jedem Element vom Typ „Paar“ einen speziellen Wert zuweisen.

So eine Abbildung kann es nur geben, wenn sich diejenigen Paare, denen unterschiedliche Werte zugeweisen werden sollen, selbst unterscheiden. Wenn man beispielsweise $[a,b] := \{a,b\}$ festlegen würde, würden sich die „Paare“ $[2,5]$ und $[5,2]$ nicht untrscheiden, da die Mengen $\{2,5\}$ und $\{5,2\}$ gleich sind. In diesem Fall könnte es keine Abbilung $\pi_1$ geben, die dem „Paar“ $[2,5]$ den Wert $2$ und dem „Paar“ $[5,2]$ den Wert $5$ zuweisen würde.

Wenn allerdings die Paardefinition das Paaraxiom von Peano erfüllt ist, unterscheiden sich alle Paare, die nicht aus denselben Elementen gebildet werden. (z.B. unterscheiden sich in diesem Fall die beiden Paare $[2,5]$ und $[5,2]$). Das Paaraxiom fordert, dass aus $a\not=c$ oder $b\not=d$ stets $[a,b] \not= [c,d]$ folgt (siehe Abschnitt „Bedeutung des Paaraxioms“). Das heißt, man kann beliebige Abbildungen definieren, die jedem Paar einen individuellen Wert zuweisen. Insbesondere kann man also $\pi_1$ und $\pi_2$ definieren.

Satz: Aus der Existenz der Projektionsoperationen folgt das Paaraxiom

Wenn zwei Projektionsfunktionen $\pi_1$ und $\pi_2$ existieren, dann ist auch das Paaraxiom erfüllt.

Dieser Satz ist die Umkehrung des vorangegangen Satzes. Außerdem folgt aus dem vorangegangen Satz sofort, dass die beiden Projektionsfunktionen eindeutig sind, sofern sie überhaupt existieren.

Beweis

[ein-/ausklappen]

Für den Beweis nehmen wir zunächst an, dass $a \not= c$ gilt. Wäre nun $[a,b] = [c,d]$, dann wäre auch $a = \pi_1([a,b]) = \pi_1([c,d]) = c$, was ein Widerspruch zur Annahme wäre. Also muss $[a,b] \not= [c,d]$ gelten. Analog zeigt man, dass aus $b \not= d$ ebenfalls $[a,b] \not= [c,d]$ folgt.

Insgesamt gilt also, dass aus $a \not= c$ oder $b \not= d$ stets $[a,b] \not= [c,d]$ folgt. Das heißt, dass das Paaraxiom ist erfüllt (hier kommt wieder die logische Kontraposition zur Anwendung, vgl. Abschnitt „Bedeutung des Paaraxioms“)).

Geschichte des Paarbegriffs

Der Paarbegriff findet sich bereits in der 1898 erschienene Arbeit „Arithmetices principia: nova methodo“ von Giuseppe Peano. Kurz vor Drucklegung des Buches „Formulaire de Mathématiques“, das das Paaraxiom enthält, publiziert Peano laut Hubert Kennedy eine kleine Studie mit Ergebnissen seiner Studien über die Herabsetzung der Zahl der Grundbegriffe auf ein Minimum.

Diese Publikation enthält sieben Festsetzungen. Eine davon steht als (x;y) für den Begriff eines geordneten Zahlenpaars, das sich aus x und y zusammensetzt. Peano bemerkt dazu: ‹Die Idee eines geordneten Zahlenpaars ist von grundsätzlicher Bedeutung. Wir wissen aber nicht, wie wir es durch die obenerwähnten Symbole ausdrücken sollen.›

1914 gelang es Norbert Wiener und Felix Hausdorff unabhängig voneinander, geordnete Paare durch Mengen auszudrücken. (vgl. nachfolgende Beispiele)

Unterschied zwischen Mathematik und Informatik

Sowohl in der Mathematik als auch in der Informatik ist es von zentraler Bedeutung unterschiedliche Objekte in „Containern“ zusammenzufassen.

In der Mathematik wird i. Allg. folgender Weg gewählt:

• Als „Basis-Container“ werden Mengen oder Klassen benutzt. Wie diese erzeugt werden können, wird axiomatisch festgelegt. In diesen Containern sind die Elemente ungeordnet und jeweils höchstens einmal enthalten.
• In einem zweiten Schritt werden geordnete Paare definiert.
• Auf Basis der geordneten Paar können in einem dritten Schritt Tupel definiert werden: In diesen Containern sind die Elemente geordnet und evtl. auch mehrfach enthalten.

In der Informatik wird dagegen i. Allg. der umgekehrte Weg gewählt:

• Als „Basis-Container“ werden geordnete Paare oder Tupel bzw. Arrays, die als Verallgemeinerung des Paar-Begriffs aufgefasst werden können, benutzt. Wie diese erzeugt werden können, wird algorithmisch festgelegt. In diesen Containern sind die Elemente geordnet und evtl. auch mehrfach enthalten. Beispiele für derartige Basis-Container sind:
  • LISP: geordnete Paare („CONS-Zellen“, siehe den nachfolgenden Abschnitt „LISP“) sowie aus CONS-Zellen gebildete Listen (siehe den Absatz „Ursprung und Varianten der Vektornotation“ im Dokument Tupel); Konstruktoren: (a . b), (CONS A B)
  • C: Verbünde (record, Tupel; Schlüsselwort: struct) und Arrays
  • C++: zu Objekten verallgemeinerte Verbünde (Schlüsselwörter: struct, class) und Arrays
  • PASCAL: Verbünde (Schlüsselwort: RECORD) und Arrays
  • JavaScript: Objekte (Konstruktore: {a: Wert1, b: Wert2, ...}) und Arrays (Konstruktor: [a, b, c, ...])
  • etc.
• In einem zweiten Schritt können Mengen und auch Multimengen (das sind Container ohne Ordnung, in denen ein Element mehrfach enthalten sein kann) mit Hilfe der vorgegebenen Datenstrukturen definiert werden.

Eine Ausnahme bildet die Sprache SQL. Hier sind Tupel und Mengen (genauer: Multimengen) die zentralen Datenstrukturen zur Speicherung von Daten. In diesem Fall werden weder Mengen mit Hilfe von Tupeln noch Tupel mit Hilfe von Mengen nachgebildet.

Beispiele für mögliche Definitionen von Paaren

LISP

Der Paar-Begriff kann vollkommen unabhängig von Mengen-/Klassenlehre zum Einsatz kommen. Interessant ist in diesem Zusammenhang die von John McCarthy entwickelte Programmiersprache LISP, in der sowohl die LISP-Anweisungen, als auch die LISP-Datenstrukturen nur mit Hilfe von so genannten LISP-Atomen (Zeichenketten, Zahlen etc.) und geordneten Paaren gebildet werden (vgl. Typentheorie).

In LISP werden geordnete Paare in der Form $(a \cdot b)$ bzw. (a . b) (ASCII-Schreibweise) notiert und mit der Funktion $\rm{cons}$ erzeugt. Die Operationen $\pi_1$ und $\pi_2$ zur Extraktion der Elemente heißen bei McCarthy $\rm{car}$ und $\rm{cdr}$. Listen werden in LISP als Abkürzung für $\rm{cons}$-Ketten definiert (siehe Tupel).

Mengenpaare

Seit es im Jahre 1914 Norbert Wiener und Felix Hausdorff gelang, den Paarbegriff auf den Mengenbegriff zurückzuführen, sind Mengenpaare aus der Mathematik nicht mehr wegzudenken.

Ein Paar $[a,b]$ heißt Mengenpaar, wenn $a$ und $b$ zwei Mengen sind. Es gibt diverse Möglichkeiten Mengenpaare zu definieren. Im Folgenden werden vier dieser Möglichkeiten näher untersucht.

Hausdorff-Paare

Hausdorff unterscheidet das erste und das zweite Element eines Paares mit Hilfe zweier spezieller Mengen $\boldsymbol{1}$ und $\boldsymbol{2}$, die anderweitig nicht verwendet werden:

$[a,b] \,\,:=\,\, \{\{a,\boldsymbol{1}\},\{b,\boldsymbol{2}\}\},\,\, \text{wobei}\, \boldsymbol{1} \notin \{\boldsymbol{2}, a,b\},\, \boldsymbol{2} \notin \{\boldsymbol{1}, a,b\} $

$\begin{array}{rclr}

 \pi_1([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{x,\boldsymbol{1}\} \in [a,b]\} & = &  \bigcap\{a\} & = & a \\ 
 \pi_2([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{x,\boldsymbol{2}\} \in [a,b]\} & = &  \bigcap\{b\} & = & b
\end{array} 

$

Diese Definition hat eine gravierenden Nachteil. Um den Paarbegriff verwenden zu können, muss man für die Elemente, die Paaren gespeichert werden sollen, voraussetzen, dass diese Elemente ungleich $\boldsymbol{1}$ und ungleich $\boldsymbol{2}$ sind. Derartige Fallunterscheidungen blähen die zugehörigen Beweise unnötig auf.

Satz: Hausdorff-Paare erfüllen das Paaraxiom von Peano

$\forall a, b, c, d: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a = c \wedge b = d$

Beweis

[ein-/ausklappen]

„$\leftarrow$“

$a = c \wedge b = d \rightarrow \{\{a,\boldsymbol{1}\},\{b,\boldsymbol{2}\}\} = \{\{c,\boldsymbol{1}\},\{d,\boldsymbol{2}\}\} \rightarrow [a,b] = [c,d]$

„$\rightarrow$“

$\begin{array}{rclr}

  [a,b] = [c,d] & \;\rightarrow\; & \{\{a,\boldsymbol{1}\},\{b,\boldsymbol{2}\}\} = \{\{c,\boldsymbol{1}\},\{d,\boldsymbol{2}\}\} & \text{(Definition von $=$)}\\
                & \;\rightarrow\; & \{a,\boldsymbol{1}\} \in \{\{c,\boldsymbol{1}\},\{d,\boldsymbol{2}\}\} \\
                & \;\rightarrow\; & \{a,\boldsymbol{1}\} = \{c,\boldsymbol{1}\} 
                                  & \text{(da $\boldsymbol{1} \not= d$ und $\boldsymbol{1} \not=\boldsymbol{2}$)} \\
                & \;\rightarrow\; & a = c  & \text{(da $\boldsymbol{1} \not= a$ und $\boldsymbol{1} \not= c$; Definition von $=$)}
\end{array} 

$

Den zweiten Teil $[a,b] = [c,d] \rightarrow b=d$ beweist man analog.

Wiener-Paare

Wiener vermeidet den Nachteil der Hausdorff-Paare indem er das erste und und das zweites Element eines Paares anhand der Mächtigkeit der zugehörigen Mengen unterscheidet: $a$ ist Element einer einelementigen Menge und $b$ ist Element einer zweielementigen Menge. Die Definition von Wiener sorgt dafür, dass die Menge $\{\emptyset,\{b\}\}$ auch im Falle $b = \emptyset$ zweielementig ist. Für $\{\emptyset,b\}$ wäre dies dagegen nicht der Fall.

$[a,b] \,\,:=\,\, \{\{\{a\}\},\{\emptyset,\{b\}\}\} $

$\begin{array}{rclclcl}

 \pi_1([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{\{x\}\} \in [a,b]\}           & = &  \bigcap\{a\} & = & a \\ 
 \pi_2([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in [a,b]\} & = &  \bigcap\{b\} & = & b
\end{array} 

$

Kuratowski-Paare

Kuratowski geht einen vollkommen anderen Weg als Wiener und Hausdorff. Er kombiniert die beiden Paarelemente $a$ und $b$ so geschickt in einer Menge, dass diese Elemente mit Hilfe von einfachen Mengen-Operationen ($\cup$, $\cap$, $\setminus$) wiedergewonnen werden können.

$[a,b] \,\,:=\,\, \{\{a\},\{a,b\}\} $

$\begin{array}{rclclcl}

 \pi_1([a,b]) & := & \bigcap\bigcap [a,b] \\
              & =  & \bigcap\bigcap\{\{a\},\{a,b\}\}  \\
              & =  & \bigcap(\{a\} \cap\{a,b\}) \\
              & =  & \bigcap\{a\} \\
              & =  & a \\ 
 \pi_2([a,b]) & := & \bigcap(\bigcup [a,b] \,\setminus\, \bigcap[a,b]) \\
              & =  & \bigcap(\bigcup\{\{a\},\{a,b\}\} \setminus\, \bigcap\{\{a\},\{a,b\}\})  \\
              & =  & \bigcap((\{a\} \cup \{a,b\}) \,\setminus\, (\{a\} \cap\{a,b\})) \\
              & =  & \bigcap(\{a,b\} \setminus \{a\}) \\
              & =  & \bigcap\{b\} \\
              & =  & b \\
\end{array} 

$

2-Tupel

Wenn bereits der Tupelbegriff eingeführt wurde, kann man anschließend eine altenative Definition für geordnete Paare angeben:

$[a,b] := (a,b)$ wobei $(a,b)$ ein $2$-Tupel ist.

Diese Definition klingt wie ein „circulus vitiosus“ (unzulässiger Ringschluss), ist aber keiner. Tupel werden – als Verallgemeinerung von Paaren – i.Allg. mit Hilfe von Paaren definiert. Beispielsweise kann man in Anlehnung an LISP $():=\emptyset$, $(a):= [a,\emptyset]$, $(a,b) := [a,[b,\emptyset]]$, $(a,b,c) := [a,[b,[c,\emptyset]]]$ etc. definieren. Dabei kann $[.,.]$ ein beliebiger Paar-Operator sein. Das so definierte Mengenpaar $(a,b)$ unterscheidet sich vom Mengenpaar $[a,b]$. Aber es erfüllt das Paaraxiom. Und dies ist die einzige Eigenschaft, auf die es beim Paarbegriff ankommt. Daher geht man bei der Formalisierung der Mathematik sinnvollerweise folgendermaßen vor:

1. Man wählt eine geeignete Definition für Paare der Art [a,b].
2. Man definiert Tupel ($n$-Tupel, (a_1,...,a_n)) mit Hilfe dieser Paardefinition.
3. Man ignoriert ab nun den ursprünglichen Paaroperator $[.,.]$ und verwendet stattdessen den Paaroperator $(.,.)$ oder – allgemeiner – Tupeloperatoren $(.,\cdots,.)$, um weitere Grundbegriffe wie Kartesisches Produkt, Relation, Funktion etc. zu definieren.

Klassenpaare

Wenn Paare nicht nur Mengen, sondern auch Unmengen enthalten können, spricht man von Klassenpaaren. Die Definitionen von Wiener, Hausdorff und Kuratowski sind für Klassenpaare allerdings ungeeignet. Unmengen können – gemäß ihrer Definition – nicht Elemente von irgendwelchen Mengen sein. Doch die obigen Mengenpaar-Definitionen basieren alle darauf, dass die Paarelemente $a$ und $b$ Elemente von ein- und/oder zweielementigen Mengen sind.

Alternativ kann man versuchen, die Elemente der Paarelemente $a$ und $b$ – die unabhängig davon, ob $a$ und $b$ Mengen oder Unmengen sind, stets Mengen sind – so zu Mengen zusammenzufassen, dass das Paaraxiom erfüllt ist.

$[a,b] := \{\{\{x\}\}: x \in a\} \,\cup\, \{\mathcal P(\{x\}): x \in b\}$ (1966 definiert von Schmidt „in Anlehnung an Quine“)

TO BE DONE

Es gibt noch diverse weitere Möglichkeiten, Mengen- und Klassenpaare zu definieren. Allerdings ist es für den eigentlichen Einsatzzweck meist unerheblich, für welche Definition man sich entscheidet. Im Falle eines mengebasierten Axiomen-System (wie es z.B. der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zu Grunde liegt) leistet jede Mengen- oder Klassenpaardefinition gleich gute Dienste, in einem klassenbasierten Axiomen-System (wie es z.B. der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre zu Grunde liegt) sollte man dagegen eine Klassenpaar-Defintion einsetzen.

Eigenschaften von Mengen- und Klassenpaaren

TO BE DONE

Im Folgenden werden die Eigenschaften der zuvor definiereten Mengen- und Klassenpaare genauer untersucht.

Lemma: Großer Durchschnitt einer einelementigen Menge

Der große Durchschnitt extrahiert das (einzige) Element einer einelementigen Menge:

$\rm{Mg}(x) \,\rightarrow\, \bigcap\{x\} = x\quad$ (Schmidt (1996), 8.28)

Beweis

[ein-/ausklappen]

Siehe Schmidt (1996), (8.28).

Anmerkung: Für Unmengen gilt diese Beziehung dagegen nicht:

$\rm{UMg}(x) \,\rightarrow\, \bigcap\{x\} = \bigcap\mathcal{V} = \emptyset\quad$ (Schmidt (1996), (10.6))

Das heißt, es gilt sogar $\rm{Mg}(x) \,\leftrightarrow\, \bigcap\{x\} = x\quad$ (unter Berücksichtigung des Axioms $\rm{Mg}(\emptyset)$, d.h. $\lnot\rm{UMg}(\emptyset)$)

Dieses Lemma hat zur Folge, dass die Definitionen von Hausdorff, Wiener und Kuratowski jeweils nur für Mengen korrekt sind, nicht jedoch für Klassen. Bei der Berechnung von $\pi_1([a,b])$ und $\pi_2([a,b])$ wird die Voraussetzung $\rm{Mg}(a)$ bzw. $\rm{Mg}(b)$ jeweils für den letzen Berechnungsschritt benötigt.

Schmidt-Paare

$\begin{array}{rclclcl}

 [a,b] & = & \{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\mathcal P(\{x\}): x \in b\,\} 
       & = & \{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\} 
\end{array} 

$

Schmidt greift die Idee von Wiener auf. Er unterscheidet die beiden Paarelemente $a$ und $b$ anhand von ein- und zweielementigen Mengen. Allerdings achtet er darauf, dass $a$ und $b$ nur rechts vom Elementzeichen $\in$ vorkommen, da Unmengen zwar Elemente enthalten, aber selbst keine Elemente sein können. Schmidt „verpackt“ daher nicht $a$ und $b$ selbst in ein- bzw. zweielementige Mengen, sondern er macht dies mit den Elementen dieser beiden Klassen.

$\begin{array}{rclclcl}

 \pi_1([a,b]) & := & \{x: \{\{x\}\} \in [a,b]\} \\
              & =  & \{x: \{\{x\}\} \in (\{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\})\,\} \\
              & =  & \{x: \{\{x\}\} \in \{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\}\\
              & =  & \{x: x \in a\} \\
              & =  & a \\ 
 \pi_2([a,b]) & := & \{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in [a,b]\} \\
              & =  & \{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in (\{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\})\;\} \\
              & =  & \{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\}\,\} \\
              & =  & \{x: x \in b\}  \\
              & =  & b \\
\end{array} 

$

Reihenfolge der Elemente

TBD Geordnete Paare sind im Gegensatz zu Mengen tatsächlich geordnet:

$\forall a, b: \{a,b\} = \{b,a\}$ (Bei Paarmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle, ...)

$\forall a, b: [a,b] = [b,a] \leftrightarrow a = b$ (... bei Paaren wegen des „Paaraxioms“ dagegen schon.)

In einem mengebasiertes Axiomen-System (wie es z.B. der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zu Grunde liegt) ist die vorangehende Formel sowohl für Mengenpaare, als auch für Klassenpaare unbeschränkt gültig, da in diesem Fall $\forall$ als „Für alle Mengen innerhalb des Mengenuniversums“ interpretiert wird.

In einem klassenbasierten Axiomen-System (wie es z.B. der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre zu Grunde liegt) ist die Formel allerdings nur im Falle von Klassenpaaren gültig, da hier $\forall$ als „Für alle Klassen, d.h. für alle Mengen und Unmengen innerhalb des Klassenuniversums“ interpretiert wird.. Bei Mengenpaaren gilt lediglich:

$\forall a, b: \rm{Mg}(a) \wedge \rm{Mg}(b) \rightarrow ([a,b] = [b,a] \leftrightarrow a = b)$

Grund: Für Unmengen ist, da eine Unmenge nicht Element einer Menge sein kann, ein Mengenpaar nämlich stets gleich der Allklasse $\mathcal{V}$ unabhängig von der Reihenfolge der Elemente. Es gilt: $\forall u: \rm{UMg}(u) \rightarrow \{u\} = \mathcal{V}$ (siehe Definintion von $n$-elementigen Mengen)

Und damit gilt erst recht:

$\forall a, b: \{\{a,\boldsymbol{1}\},\{b,\boldsymbol{2}\}\} = \{\{b,\boldsymbol{1}\},\{a,\boldsymbol{2}\}\} = \mathcal{V}$

$\forall a, b: \{\{\{a\}\},\{\emptyset,\{b\}\}\} = \{\{\{b\}\},\{\emptyset,\{a\}\}\} = \mathcal{V}$

$\forall a, b: \{a,\{a,b\}\} = \{b,\{b,a\}\} = \mathcal{V}$

Auch wenn $\{u\}$ für Unmengen anders definiert werden sollte (wie z.B. $\{u\} = \emptyset$; siehe Alternative Definition einer einelementigen Menge), wäre nichts gewonnen. Da sich Klassen, die Unmengen als Elemente enthalten, für verschiedene Unmengen nicht voneinander unterscheiden, unterscheiden sich auch die entsprechenden Mengenpaar-Definitionen nicht.

Fazit: Im Falle eines klassenbasierten Axiomensystems sollte man eine Klassenpaar-Definition an Stelle einer Mengenpaar-Definition verwenden.

Siehe auch

• Reconsidering Ordered Pairs, Dana Scott und Dominic McCarty