Russellsche Antinomie

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Informelle Beschreibung der Russelschen Antinomie

Der von Bolzano, Frege, Cantor und anderen geprägte „naive“ Mengebegriff führt zu einer Antinomie, d.h. auf ein logisches Paradoxon, das Bertrand Russell und Ernst Zermelo ca. 1901 unabhängig voneinander im Axiomensystem von Frege entdeckt haben. Russell schrieb seine Entdeckung am 16. Juni 1902 an Frege.

Russell definiert die Russell-Menge – wie diese Menge heute genannt wird – als die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten (er verwendet in seinem Brief die Begriffe „Klasse“ und „Menge“ synonymisch):

Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören.

Die Russell-Menge ist gemäß Freges Axiomensystem eine Menge und kann außerdem Element von anderen Mengen sein – evtl. sogar von sich selbst!

Und so stellt Russell die Frage, ob sich die Russell-Menge selbst enthält. Diese Frage führt aber zu einem Widerspruch:

Die Russell-Menge enthält sich – laut Definition der Russell-Menge – genau dann selbst, wenn sie sich nicht selbst enthält. Russell bemerkt dazu:

Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet.

Dieses Paradoxon war der Beginn der Grundlagenkrise der Mathematik. Schon Frege war „auf's Höchste überrascht und [...] bestürzt“.

Weitere Beispiele für die Russellsche Antinomie

• Ein Barbier rasiert alle Männer des Ortes, die sich nicht selbst rasieren, und nur diese. Rasiert er sich selbst?
• Ein Katalog listet alle Kataloge auf, die sich nicht selbst auflisten, und nur diese. Listet dieser Katalog sich selbst auf?

Formalere Beschreibung der Russelschen Antinomie

Zuvor wurde Russellsche Antinomie informell beschrieben. Im Folgenden wird das Problem auf etwas formalerer Ebene beleuchtet.

Definition der „Menge aller Objekte mit einer bestimmten Eigenschaft“

Zunächst zeigt man, dass die „Menge aller Objekte mit einer bestimmten Eigenschaft“ auch ein Objekt unserer Anschauung ist und damit – nach Cantor – Element einer beliebigen Menge sein kann.

Es sei $U$ (Universum) die Gesamtheit aller Objekte unserer Anschauung und unseres Denkens.

Ein logische Formel $A(x)$ beschreibt bestimmte Eigenschaften von Objekten aus $U$, indem sie für jedes Objekt $x$ aus $U$ den Wert wahr oder falsch als Ergebnis hat. Dabei bedeutet:

• wahr: $x$ hat die mit $A(x)$ beschriebene Eigenschaft
• falsch: $x$ hat die mit $A(x)$ beschriebene Eigenschaft nicht

Damit kann man nun die „Menge aller Objekte $x$ mit der Eigenschaft $A(x)$“ definieren: $\{x|A(x)\}$ bezeichnet die Menge aller Objekte $x$ aus $U$, die die Eigenschaft $A$ haben, d.h., für die $A(x)$ den Wert wahr hat.

Nun kann man die Element-Beziehung $b \in \{x|A(x)\}$ folgendermaßen definieren: $b$ ist genau dann ein Element der Menge $\{x|A(x)\}$, in Zeichen $b \in \{x|A(x)\}$, wenn $A(b)$ wahr ist, d.h., wenn $A(b)$ den Wert wahr hat.

Beispiele

• $\{x|x \mbox{ ist derzeit Student an der Hochschule Augburg}\}$ ist die Menge aller derzeit an der HSA immatrikulierten Studenten (diese Menge ändert sich im Laufe der Zeit)
• $P = \{x|x \mbox{ ist eine Primzahl}\}$ ist die Menge aller Primzahlen; $7 \in P$, $8 \not\in P$
• $\mathbb{Q} := \{x|x \mbox{ ist eine rationale Zahl}\}$ ist die Menge der rationalen Zahlen; $2/3 \in \mathbb{Q}, \pi \not\in \mathbb{Q}$
• $\mathcal{V} := \{x|x \mbox{ ist eine Menge}\}$ ist die Menge aller Mengen, $P \in \mathcal{V}$, $\mathbb{Q} \in \mathcal{V}$, $\mathcal{V} \in \mathcal{V}$

Jede Menge $\{x|A(x)\}$ ist also „ein Objekt unserer Anschauung“ und damit ein Objekt aus unserem Universum $U$. Dabei gibt es auch Mengen, die die etwas ungewöhnliche Eigenschaft haben, sich selbst zu enthalten. Zum Beispiel enthält sich die Menge $\mathcal{V}$ selbst, da $\mathcal{V}$ – nach Cantor – die Eigenschaft hat, eine Menge zu sein.

Mengen, die sich selbst enthalten

Man beachte, dass Mengen, die sich selbst enthalten, nicht so selten und exotisch sind, wie man vermuten könnte. In der Informatik kommen sie sogar recht häufig vor: Immer, wenn man Objekte so miteinander verkettet, dass ein geschlossener Weg entsteht, hat man im Prinzip eine Menge definiert, die sich selbst enthält.

Beispiel in JavaScript

Source: http://glossar.hs-augsburg.de/beispiel/javascript/sample_self_containment/WebContent/

var tuple = {a: 123, b: "foo"}; 
tuple.c = tuple;

Das Objekt tuple enthält sich selbst, wie man ganz leicht nachprüfen kann. Folgende Befehle geben alle den Wert 123 auf der Konsole aus:

console.log(tuple.a);
console.log(tuple.c.a);
console.log(tuple.c.c.a);
console.log(tuple.c.c.c.a);
console.log(tuple.c.c.c.c.a);
console.log(tuple.c.c.c.c.c.a);
console.log(tuple.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.a);

Es gilt also:

tuple == tupel.c == tupel.c.c == tupel.c.c.c == ... == 
{a: 123, b: "foo", c: {a: 123, b: "foo", c: {a: 123, b: "foo", c: {a: 123, b: "foo", c: ...}}}}

Man beachte, dass jedes JavaScript-Objekt als ein Tupel in Attributnotation, d.h., als eine spezielle Menge aufgefasst werden kann. Das heißt, man kann die obige Aussage auch folgendermaßen formulieren:

Die Menge tupel enthält sich selbst.

Zyklenhaltige Graphen kommen in der Informatik recht häufig vor:

• doppelt verkettete Listen
• Ringlisten
• Netzpläne
• Graphen, wie z.B.
  • World Wide Web
  • Netzplan der Deutschen Bahn
• etc.

Russellsche Antinomie

Aus der Tatsache, dass es Mengen geben kann, die sich selbst enthalten, und andere, bei denen dies nicht der Fall ist, ergibt sich sofort eine Frage: Kann man alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten, in einer Menge zusammenfassen?

$\mathcal R := \{x|x \mbox{ ist eine Menge} \wedge x \notin x\}$ ist die so genannte Russell-Menge. Sie enthält – laut Definition – alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten.

Es gilt z.B. $\{x|x \mbox{ ist eine Primzahl}\} \in \mathcal R$ und $\mathbb{Q} \in \mathcal R$, aber ${\rm Sonne} \notin \mathcal R$ (Sonne ist keine Menge) und $\mathcal{V} \notin \mathcal R$ ($\mathcal{V}$ ist zwar – gemäß Cantors Definition – eine Menge, enthält sich aber selbst).

Die Frage ist, ob sich die Russell-Menge selbst enthält oder nicht. Aber diese Frage kann nicht beantwortet werden, da sich die Russell-Menge genau dann selbst enthält, wenn sie eine Menge ist und sich nicht selbst enthält: $\mathcal R \in \mathcal R \Leftrightarrow \mathcal R \mbox{ ist ein Menge} \wedge \mathcal R \notin \mathcal R$.

Nach der Cantorschen Definition ist die Russell-Menge eine Menge. Und damit ergibt sich sofort der erwähnte Widerspruch: $\mathcal{R} \in \mathcal{R} \Leftrightarrow \mathcal{R} \notin \mathcal{R}$.

In Worten: Die Russell-Menge enthält sich genau dann selbst, wenn sie sich nicht selbst enthält.

Die Lösung des Problems liegt auf der Hand: Man muss dafür sorgen, dass $\mathcal{R}$ entweder gar nicht definiert werden kann oder, falls doch, zumindest keine Menge ist.

Lösung des Problems

Typentheorie

Die von Russel 1903 in seiner Typentheorie vorgeschlagene Lösung, Mengen abhängig von den darinnen enthaltenen Mengen hierarchisch in „Ebenen" anzuordnen, verhindert die Definition von $\mathcal{R}$. Es gibt keine Ebene, auf der $\mathcal{R}$ zu liegen käme. Russell ging von einer Menge von Grundelementen aus, die der Stufe 0 der Typhierarchie zugeordnet sind. Die Stufe n+1 der Typhierachie ist stets die Potenzmenge der Stufe n.

Diese Struktur ist allerdings ziemlich sperrig. Man kann z.B: keine Mengen der Art {1, {1,2,3}} bilden, da 1 und {1,2,3} auf unterschiedlichen Stufen liegen. Diese Probleme kann man lösen, wenn man dafür sorgt, dass jede Stufe nicht nur die Elemente der Potenzmenge der Vorgängerstufe enthält, sondern auch alle Elemente der Vorgängerstufe selbst. Diese Ebenenstruktur wird Kumulative Typhierarchie) genannt. In beiden Fällen kann eine Menge $n$-ter Stufe kann nur Mengen aus Stufen $m$ kleiner $n$ enthalten. Damit gibt es keine Mengen, die sich selbst enthalten (weil ja jede Menge derselben Stufe angehört wie sie selbst). Es gibt also keine „Menge aller Mengen“ und damit auch keine „Russell-Menge“.

Klassen

Die modernere Klassenlehre verhindert nicht die Definition von $\mathcal{R}$ vollständig. Sie verhindert allerdings, dass eine Menge $\mathcal{R}$ definiert werden kann. $\mathcal{R}$ wird hier als Unmenge oder echte Klasse bezeichnet.

Man nennt „Zusammenfassungen von bestimmten Objekten unserer Anschauung und unseres Denkens“ zunächst einmal Klasse und nicht Menge. Der wichtigste Untersched zu Cantors Definition ist, dass man nicht von jeder Klasse fordert, ebenfalls ein solches „Objekt unserer Anschauung und unseres Denkens“ zu sein, das in irgendwelchen Zusammenfassungen enthalten sein kann. Das heißt, es kann Klassen geben, die kein Element irgendeiner anderen Klasse sind, zum Beispiel, weil sie einfach „zu groß“ sind. Daher kann man zwei spezielle Arten von Klassen unterscheiden: die so genannten Mengen und die so genannten Unmengen oder echten Klassen. (Im Gegensatz zu Cantors Zeiten, als die Begriffe „Menge“ und „Klasse“ meist synonym verwendet wurden, muss man heute strikt zwischen „Mengen“ und „echten Klassen“ unterscheiden.)

Eine Klasse heißt Menge, genau dann, wenn sie Element einer anderen Klasse ist.

In der kumulativen Typhierarchie ist eine Menge ein Element, das auf irgendeiner Stufe (und damit ebenfalls auf allen darüberliegnde Stufen) liegt. Die erste Stufe, auf der eine Menge zu liegen kommt, heiße definierende Stufe. Eine Unmenge ist dagegen eine Klasse, die kein Element einer anderen Klasse ist und für die es daher auch keine definierende Stufe gibt. Für die Elemente einer Unmenge gibt es dagegen schon definierende Stufen. Es gibt allerdings keine größte dieser Stufen. Das heißt, für jedes Element einer Unmenge gibt es beliebig viele weitere Elemente der Unmenge, deren definierenden Stufen oberhalb der definierenden Stufe dieses Elements liegt.

Beipiele für Unmengen sind die Allklasse, d.h. die Klasse, die alle Mengen enthält (aber nicht alle Klassen!), sowie die Russell-Klasse, die alle Mengen enthält, die sich nicht selbst enthalten. Die Russell-Klasse enthält sich nicht selbst, da sie die Bedingung „$\mathcal{R}$ ist eine Menge“ nicht erfüllen kann (sonst ergäbe sich sofort die Russellsche Antinomie):

$\mathcal R \in \mathcal R \Leftrightarrow \mathcal R \mbox{ ist eine Menge} \wedge \mathcal R \notin \mathcal R$

Wenn $R \mbox{ ist eine Menge}$ gelten würde, ergibt sich der Widerspruch $\mathcal R \in \mathcal R \Leftrightarrow \mathcal R \notin \mathcal R$.

Also gilt $\mathcal R$ ist keine Menge, sondern eine Unmenge und damit $\mathcal R \notin \mathcal R$, da eine Ummenge überhaupt kein Element irgendeiner Menge ist.

Es gibt noch Unmengen von weiteren Unmengen. :-)

Die „Klassenlehre“ hat sich bisher als sehr stabil erwiesen. Es wurden keine weiteren Antinomien entdeckt und daher geht man davon aus, dass damit eine widerspruchsfreie Mengenlehre definiert wurde. Leider beweist Kurt Gödel mit seinem zweiten Unvollständigkeitssatz unter anderem auch, dass man die Widerspruchsfreiheit der zugehörigen Axiome der Mengenlehre nicht nachweisen kann Mit ein wenig Unsicherheit bezüglich dieser Definition müssen wir also bis in alle Zeiten leben. Vielleicht finden Sie ja eine neue Antinomie, die in dieser Definition enthalten ist. (Allerdings sollten Sie nicht Ihre Zeit damit verschwenden, da die Erfolgsaussichten doch sehr gering sind.)

Siehe auch

• Wikipedia:Russellsche Antinomie: Wikipedia-Autoren; Wikipedia, die freie Enzyklopädie – Russellsche Antinomie; Organisation: Wikimedia Foundation Inc.; Adresse: San Francisco; http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Russellsche_Antinomie&oldid=129833068; 2014; Quellengüte: 5 (Web)