Geordnetes Paar
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Definition (Brockhaus[1])
Paar ... Mathematik: eine Menge, die aus zwei Elementen (der ersten und der zweiten Komponente) besteht, die zusätzlich in einer Ordnung stehen: $(a,b)$ ist i.a. verschieden von $(b,a)$.
Definition (Kowarschick)
Der Term $[a,b]$ heißt geordnetes Paar, wenn für den Operator $[\cdot,\cdot]$ das Paaraxiom[2] erfüllt ist:
Projektionsoperatoren
Für geordnete Paare kann man – wegen des Paaraxioms – zwei Projektionsoperatoren $\pi_1$ und $\pi_2$ definieren, die das erste bzw. das zweite Element des Paars extrahieren:
Eigenschaften von geordneten Paaren
Geordnete Paare sind im Gegensatz zu Mengen tatsächlich geordnet. Bei Paarmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle ($\{a,b\} = \{b,a\}$). Bei Paaren kommt es dagegen aufgrund des Paaraxioms auf die Reihenfolge an:
Insbesondere gilt damit für jedes Paar die Beziehung $[a,b] = [\pi_1([a,b]),\pi_2([a,b])]$.
Satz: Existenz und Eindeutigkeit der Projektionsoperatoren
Wenn das Paaraxiom erfüllt ist, gibt es genau einen Operator $\pi_1$ und genau einen Operator $\pi_2$, die die zuvor definierten Eigenschaften haben.
Beweis
Existenz:
Bei $\pi_1$ und $\pi_2$ handelt es sich um Abbildungen, die jedem Element vom Typ „Paar“ einen speziellen Wert zuweisen.
So eine Abbildung kann es nur geben, wenn sich diejenigen Paare, denen unterschiedliche Werte zugeweisen werden sollen, selbst unterscheiden. Wenn man beispielsweise $[a,b] := \{a,b\}$ festlegen würde, würden sich die „Paare“ $[2,5]$ und $[5,2]$ nicht unterscheiden, da die Mengen $\{2,5\}$ und $\{5,2\}$ gleich sind. In diesem Fall könnte es keine Abbildung $\pi_1$ geben, die dem „Paar“ $[2,5]$ den Wert $2$ und dem „Paar“ $[5,2]$ den Wert $5$ zuweist.
Wenn allerdings die Paardefinition das Paaraxiom von Peano erfüllt ist, unterscheiden sich alle Paare, die nicht aus denselben Elementen gebildet werden (z.B. unterscheiden sich in diesem Fall die beiden Paare $[2,5]$ und $[5,2]$). Das Paaraxiom fordert, dass aus $[a,b] = [c,d]$ stets $a=c$ und $b=d$ folgt. Im Umkkertschluss (logische Kontraposition) heißt dies, dass aus $a\not=c$ oder $b\not=d$ stets $[a,b] \not= [c,d]$ folgt. Das bedeutet aber, dass man kann beliebige Abbildungen definieren kann, die jedem Paar einen individuellen Wert zuweisen. Insbesondere kann man also $\pi_1$ und $\pi_2$ definieren.
Eindeutigkeit:
Angenommen, es gäbe zwei Projektionsoperatoren $\pi_1$ und $\pi'_1$ die das erste Paarelement extrahieren. Dann würde aus der zuvor definierten Eigenschaft von $\pi_1$ Folgendes folgen:
Das heißt, die beiden Operatoren liefern für jedes Paar dasselbe Ergebnis. Damit sind beide Operatoren (hinsichtlich des Abbildungsverhaltens von Paaren) identisch.
(Das heißt nicht, dass sich $\pi_1$ und $\pi'_1$ nicht hinsichtlich anderer Aspekte unterscheiden können. Zum Beispiel kann das Abbildungsverhalten hinsichtlich Nicht-Paaren unterschiedlich ausfallen, sofern dies Verhalten für eine oder gar beide Operatoren definiert ist, oder die Operationen können mit Hilfe unterschiedlicher Verfahren (Algorithmen) zum selben Ergebnis kommen. Die Eindeutigkeit gilt daher nur, wenn das „Prinzip von der Identität des Ununterscheidbaren“ zum Einsatz kommt und man die Projektionsoperatoren stets nur auf Paare anwendet.)
Für $\pi_2$ zeigt man die Eindeutigkeit analog.
Satz: Aus der Existenz der Projektionsoperatoren folgt das Paaraxiom
Wenn zwei Projektionsfunktionen $\pi_1$ und $\pi_2$ existieren, dann ist auch das Paaraxiom erfüllt.
Dieser Satz ist die Umkehrung des vorangegangen Satzes. Außerdem folgt aus dem vorangegangen Satz sofort, dass die beiden Projektionsfunktionen eindeutig sind, sofern sie überhaupt existieren.
Beweis
Wenn $[a,b] = [c,d]$, dann ist auch $a = \pi_1([a,b]) = \pi_1([c,d]) = c$ und $b = \pi_2([a,b]) = \pi_2([c,d]) = d$.
Die Rückrichtung Paaraxioms gilt trivialerweise wegen des „Prinzips von der Identität des Ununterscheidbaren“.
Geschichte des Paarbegriffs
Der Paarbegriff findet sich bereits in der 1898 erschienene Arbeit „Arithmetices principia: nova methodo“[3] von Giuseppe Peano. Kurz vor Drucklegung des Buches „Formulaire de Mathématiques“[2], das das Paaraxiom enthält, publiziert Peano laut Hubert Kennedy eine kleine Studie mit Ergebnissen seiner Studien über die Herabsetzung der Zahl der Grundbegriffe auf ein Minimum.
Diese Publikation enthält sieben Festsetzungen. Eine davon steht als (x;y) für den Begriff eines geordneten Zahlenpaars, das sich aus x und y zusammensetzt. Peano bemerkt dazu: ‹Die Idee eines geordneten Zahlenpaars ist von grundsätzlicher Bedeutung. Wir wissen aber nicht, wie wir es durch die obenerwähnten Symbole ausdrücken sollen.›[4]
1914 gelang es Norbert Wiener und Felix Hausdorff unabhängig voneinander, geordnete Paare durch Mengen auszudrücken (vgl. nachfolgende Beispiele).[5][6][7]
Unterschied zwischen Mathematik und Informatik
Sowohl in der Mathematik als auch in der Informatik ist es von zentraler Bedeutung unterschiedliche Objekte in „Containern“ zusammenzufassen.
In der Mathematik wird i. Allg. folgender Weg gewählt:
- Als „Basis-Container“ werden Mengen oder Klassen benutzt. Wie diese erzeugt werden können, wird axiomatisch festgelegt. In diesen Containern sind die Elemente ungeordnet und jeweils höchstens einmal enthalten.
- In einem zweiten Schritt werden geordnete Paare definiert.
- Auf Basis der geordneten Paar können in einem dritten Schritt Tupel definiert werden: In diesen Containern sind die Elemente geordnet und evtl. auch mehrfach enthalten.
In der Informatik wird dagegen i. Allg. der umgekehrte Weg gewählt:
- Als „Basis-Container“ werden geordnete Paare oder Tupel bzw. Arrays, die als Verallgemeinerung des Paar-Begriffs aufgefasst werden können, benutzt. Wie diese erzeugt werden können, wird algorithmisch festgelegt. In diesen Containern sind die Elemente geordnet und evtl. auch mehrfach enthalten. Beispiele für derartige Basis-Container sind:
- LISP: geordnete Paare („CONS-Zellen“, siehe den nachfolgenden Abschnitt „LISP“) sowie aus CONS-Zellen gebildete Listen (siehe den Absatz „Ursprung und Varianten der Vektornotation“ im Dokument Tupel); Konstruktoren:
(a . b),(CONS A B) - C: Verbünde (record, Tupel; Schlüsselwort:
struct) und Arrays - C++: zu Objekten verallgemeinerte Verbünde (Schlüsselwörter:
struct,class) und Arrays - PASCAL: Verbünde (Schlüsselwort:
RECORD) und Arrays - JavaScript: Objekte (Konstruktore:
{a: Wert1, b: Wert2, ...}) und Arrays (Konstruktor:[a, b, c, ...]) - etc.
- LISP: geordnete Paare („CONS-Zellen“, siehe den nachfolgenden Abschnitt „LISP“) sowie aus CONS-Zellen gebildete Listen (siehe den Absatz „Ursprung und Varianten der Vektornotation“ im Dokument Tupel); Konstruktoren:
- In einem zweiten Schritt können Mengen und auch Multimengen (das sind Container ohne Ordnung, in denen ein Element mehrfach enthalten sein kann) mit Hilfe der vorgegebenen Datenstrukturen definiert werden.
Eine Ausnahme bildet die Sprache SQL. Hier sind Tupel und Mengen (genauer: Multimengen) die zentralen Datenstrukturen zur Speicherung von Daten. In diesem Fall werden weder Mengen mit Hilfe von Tupeln noch Tupel mit Hilfe von Mengen nachgebildet.
Beispiele für mögliche Definitionen von Paaren
LISP
Der Paar-Begriff kann vollkommen unabhängig von Mengen-/Klassenlehre zum Einsatz kommen. Interessant ist in diesem Zusammenhang die von John McCarthy entwickelte Programmiersprache LISP, in der sowohl die LISP-Anweisungen, als auch die LISP-Datenstrukturen nur mit Hilfe von so genannten LISP-Atomen (Zeichenketten, Zahlen etc.) und geordneten Paaren gebildet werden (vgl. Typentheorie).
In LISP werden geordnete Paare
in der Form $(a \cdot b)$ bzw. (a . b) (ASCII-Schreibweise) notiert und mit der Funktion $\rm{cons}$ erzeugt.
Die Operatoren $\pi_1$ und $\pi_2$ zur Extraktion der Elemente heißen bei McCarthy $\rm{car}$
und $\rm{cdr}$.[8]
Listen werden in LISP als Abkürzung für $\rm{cons}$-Ketten definiert (siehe Tupel).
Mengenpaare
Seit es im Jahre 1914 Norbert Wiener und Felix Hausdorff gelang, den Paarbegriff auf den Mengenbegriff zurückzuführen, sind Mengenpaare aus der Mathematik nicht mehr wegzudenken:
Es gibt diverse Möglichkeiten Mengenpaare zu definieren. Im Folgenden werden vier dieser Möglichkeiten näher untersucht. Insbesondere werden jeweils die beiden Projektionsoperatoren angegeben. Gemäß dem Satz 2.2.2 („Aus der Existenz der Projektionsoperatoren folgt das Paaraxiom“) ist damit sichergestellt, dass das Paaraxiom erfüllt ist. Der Satz 2.2.2 wurde auf der Metaebene formuliert und bewiesen. Die folgenden Paarbegriffe werden dagegen mittels der formaleren Objektsprache definiert. Es ist aber keine Problem das Paaraxiom in der Objektsprache zu formulieren:
Und der Beweis erfolgt vollkommen analog zum Beweis des Satzes 2.2.2.
Hausdorff-Paare
Felix Hausdorff unterscheidet das erste und das zweite Element eines Paares mit Hilfe zweier spezieller Mengen $\boldsymbol{1}$ und $\boldsymbol{2}$, die anderweitig nicht verwendet werden:[7]
\pi_1([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{x,\boldsymbol{1}\} \in [a,b]\} & = & \bigcap\{a\} & = & a \\
\pi_2([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{x,\boldsymbol{2}\} \in [a,b]\} & = & \bigcap\{b\} & = & b
\end{array}
$Diese Definition hat eine gravierenden Nachteil. Um den Paarbegriff verwenden zu können, muss man für die Elemente, die Paaren gespeichert werden sollen, voraussetzen, dass diese Elemente ungleich $\boldsymbol{1}$ und ungleich $\boldsymbol{2}$ sind. Derartige Fallunterscheidungen blähen die zugehörigen Beweise unnötig auf.
Wiener-Paare
Norbert Wiener vermeidet den Nachteil der Hausdorff-Paare indem er das erste und und das zweites Element eines Paares anhand der Mächtigkeit der zugehörigen Mengen unterscheidet: $a$ ist Element einer einelementigen Menge und $b$ ist Element einer zweielementigen Menge. Die Definition von Wiener sorgt dafür, dass die Menge $\{\emptyset,\{b\}\}$ auch im Falle $b = \emptyset$ zweielementig ist. Für $\{\emptyset,b\}$ wäre dies dagegen nicht der Fall.[6]
\pi_1([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{\{x\}\} \in [a,b]\} & = & \bigcap\{a\} & = & a \\
\pi_2([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in [a,b]\} & = & \bigcap\{b\} & = & b
\end{array}
$Kuratowski-Paare
Kazimierez Kuratowski geht einen vollkommen anderen Weg als Wiener und Hausdorff. Er kombiniert die beiden Paarelemente $a$ und $b$ so geschickt in einer Menge, dass diese Elemente mit Hilfe von einfachen Mengenoperatoren ($\cup$, $\cap$, $\setminus$) wiedergewonnen werden können.[9]
\pi_1([a,b]) & := & \bigcap\bigcap [a,b] \\
& = & \bigcap\bigcap\{\{a\},\{a,b\}\} \\
& = & \bigcap(\{a\} \cap\{a,b\}) \\
& = & \bigcap\{a\} \\
& = & a \\
\pi_2([a,b]) & := & \bigcap(\bigcup [a,b] \,\setminus\, \bigcap[a,b]) \\
& = & \bigcap(\bigcup\{\{a\},\{a,b\}\} \setminus\, \bigcap\{\{a\},\{a,b\}\}) \\
& = & \bigcap((\{a\} \cup \{a,b\}) \,\setminus\, (\{a\} \cap\{a,b\})) \\
& = & \bigcap(\{a,b\} \setminus \{a\}) \\
& = & \bigcap\{b\} \\
& = & b \\
\end{array}
$Tupel als Mengenpaare
Wenn bereits der Tupelbegriff eingeführt wurde, kann man anschließend eine altenative Definition für geordnete Paare angeben:
Diese Definition klingt wie ein „circulus vitiosus“ (unzulässiger Ringschluss), ist aber keiner. Tupel werden – als Verallgemeinerung von Paaren – i.Allg. mit Hilfe von Paaren definiert. Beispielsweise kann man in Anlehnung an LISP[10] $():=\emptyset$, $(a):= [a,\emptyset]$, $(a,b) := [a,[b,\emptyset]]$, $(a,b,c) := [a,[b,[c,\emptyset]]]$ etc. definieren. Dabei kann $[.,.]$ ein beliebiger Paaroperator sein. Das so definierte Mengenpaar $(a,b)$ unterscheidet sich vom Mengenpaar $[a,b]$. Aber es erfüllt das Paaraxiom. Und dies ist die einzige Eigenschaft, auf die es beim Paarbegriff ankommt. Daher geht man bei der Formalisierung der Mathematik sinnvollerweise folgendermaßen vor:
- Man wählt eine geeignete Definition für Paare der Art [a,b].
- Man definiert Tupel ($n$-Tupel, (a_1,...,a_n)) mit Hilfe dieser Paardefinition.
- Man ignoriert ab nun den ursprünglichen Paaroperator $[.,.]$ und verwendet stattdessen den Paaroperator $(.,.)$ oder – allgemeiner – Tupeloperatoren $(.,\cdots,.)$, um weitere Grundbegriffe wie Kartesisches Produkt, Relation, Funktion etc. zu definieren.
Klassenpaare
Wenn Paare nicht nur Mengen, sondern auch Unmengen enthalten können, spricht man von Klassenpaaren. Die Definitionen von Wiener, Hausdorff und Kuratowski sind für Klassenpaare allerdings ungeeignet. Unmengen können – gemäß ihrer Definition – nicht Elemente von irgendwelchen Mengen sein. Doch die obigen Mengenpaar-Definitionen basieren alle darauf, dass die Paarelemente $a$ und $b$ Elemente von ein- und/oder zweielementigen Mengen sind.
In einem mengebasiertes Axiomen-System (wie es z.B. der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zu Grunde liegt) ist das Paaraxiom
für Mengenpaare uneingeschränkt gültig, da in diesem Fall $\forall$ als „Für alle Mengen innerhalb des Mengenuniversums“ interpretiert wird. In einem klassenbasierten Axiomen-System (wie es z.B. der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre zu Grunde liegt) wir $\forall$ jedoch als „Für alle Klassen, d.h. für alle Mengen und Unmengen innerhalb des Klassenuniversums“ interpretiert. Für die bislang definierten Mengenpaare gilt in deratigen Systemen lediglich:
Der Grund ist: Für Unmengen ist, da eine Unmenge nicht Element einer Menge sein kann, ein Mengenpaar stets gleich der Allklasse $\mathcal{V}$ unabhängig von der Reihenfolge der Elemente. Es gilt: $\forall u: \rm{UMg}(u) \rightarrow \{u\} = \mathcal{V}$ (siehe Definintion von $n$-elementigen Mengen)
Und damit gilt erst recht:
Auch wenn $\{u\}$ für Unmengen anders definiert werden sollte (wie z.B. $\{u\} = \emptyset$; siehe Alternative Definition einer einelementigen Menge), wäre nichts gewonnen. Da sich Klassen, die Unmengen als Elemente enthalten, für verschiedene Unmengen nicht voneinander unterscheiden, unterscheiden sich auch die entsprechenden Mengenpaar-Definitionen nicht.
Alternativ kann man versuchen, die Elemente der Paarelemente $a$ und $b$ – die unabhängig davon, ob $a$ und $b$ Mengen oder Unmengen sind, stets Mengen sind – so zu Mengen zusammenzufassen, dass das Paaraxiom erfüllt ist.
Schmidt-Paare
Jürgen Schmidt greift „in Anlehnung an Quine“ die Idee von Wiener auf. Er unterscheidet die beiden Paarelemente $a$ und $b$ anhand von ein- und zweielementigen Mengen. Allerdings achtet er darauf, dass $a$ und $b$ nur rechts vom Elementzeichen $\in$ vorkommen, da Unmengen zwar Elemente enthalten, aber selbst keine Elemente sein können. Schmidt „verpackt“ daher nicht $a$ und $b$ selbst in ein- bzw. zweielementige Mengen, sondern er macht dies mit den Elementen dieser beiden Klassen.[5]
[a,b] & = & \{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\mathcal P(\{x\}): x \in b\,\}
& = & \{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\}
\end{array}
$ \pi_1([a,b]) & := & \{x: \{\{x\}\} \in [a,b]\} \\
& = & \{x: \{\{x\}\} \in (\{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\})\,\} \\
& = & \{x: \{\{x\}\} \in \{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\}\\
& = & \{x: x \in a\} \\
& = & a \\
\pi_2([a,b]) & := & \{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in [a,b]\} \\
& = & \{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in (\{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\})\;\} \\
& = & \{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\}\,\} \\
& = & \{x: x \in b\} \\
& = & b \\
\end{array}
$Für Schmidt-Paare gilt da Paaraxiom uneingeschränkt, da die Projektionsoperatoren sowohl für Mengen als auch für Unmengen das korrekte Ergebnis liefern.
Tupel als Klassenpaare
Klassenpaare können ebenso wie Mengenpaare zu Tupeln verallgemeinert werden. Und wenn man dies geschickt macht, z.B. auf die von McCarthy für LISP vorgeschlagene Methode[10], erhält man dabei Tupel, die auch Unmengen als Elemente enthalten können. In diesem Fall können und sollten, wie zuvor bereits bei den Mengenpaaren ausführlich besprochen wurde, 2-Tupel ebenfalls als (Klassen-)Paare eingesetzt werden.
Quellen
- ↑ Brockhaus (1991, NOS-PER): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 16, MAG-MOD; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1116-2; 1991; Quellengüte: 5 (Buch)
- ↑ 2,0 2,1 Peano (1897b): Giuseppe Peano; Formulaire de Mathématiques; Band: 2; Verlag: Bocca frères und Ch. Clausen; Web-Link; 1897; Quellengüte: 5 (Buch), S. 6, Nr. 70 und Nr. 71
- ↑ Peano (1889): Giuseppe Peano; Arithmetices principia: nova methodo; Verlag: Fratres Bocca; Web-Link; 1889; Quellengüte: 5 (Buch)
- ↑
- ↑ 5,0 5,1 Schmidt (1966): Jürgen Schmidt; Mengenlehre – Grundbegriffe; Reihe: B.I.Hochschultaschenbücher; Band: 1; Nummer: 56; Verlag: Bibliographisches Institut AG; Adresse: Mannheim; ISBN: B0000BUJC6; 1966; Quellengüte: 5 (Buch)
- ↑ 6,0 6,1 Wiener (1914): Norbert Wiener; A Simplification of the Logic of Relations; in: Proceedings of Cambridge Philosophical Society; Band: 17; Seite(n): 387-390; Web-Link; 1914; Quellengüte: 5 (Artikel)
- ↑ 7,0 7,1 Hausdorff (1914): Felix Hausdorff; Grundzüge der Mengenlehre; Verlag: Veit and Company; Adresse: Leipzig; Web-Link; 1914; Quellengüte: 5 (Buch)
- ↑ , S. 11
- ↑ Kuratowski (1921): Kazimierez Kuratowski; Sur la notion de l‘ordere dans la Théorie des Ensembles; in: Fundamenta Mathematica; Band: 2; Nummer: 1; Seite(n): 161-171; Web-Link; 1921; Quellengüte: 5 (Artikel)
- ↑ 10,0 10,1 McCarthy (1960): John McCarthy; Recursive Functions of Symbolic Expressions and Their Computation by Machine, Part I; in: Communications of the ACM; Band: 3; Nummer: 4; Seite(n): 184-195; Verlag: Association for Computing Machinery; Adresse: New York; Web-Link 0, Web-Link 1; 1960; Quellengüte: 5 (Artikel)
