Mengenlehre: Unterschied zwischen den Versionen

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===Naive Mengenlehre===
===Naive Mengenlehre===
Die naive Mengenlehre, wie sie von [[Georg Cantor]], [[Gottlob Frege]] und Anderen eingeführt wurde,
 
erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension von Mengen, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von Mengen zu weiteren Mengen.
[[Felix Hausdorff]] nennt einen Mengenbegriff „naiv“, wenn er zu Paradoxien,  
Dies führt allerdings zu logischen [[Antinomie]]n, wie z.B. der sogenannten [[Russellsche Antinomie|Russellschen Antinomie]].
wie z.B. der sogenannten [[Russellsche Antinomie|Russellschen Antinomie]]
führt.<ref>{{Quelle|Hausdorf (1914)}}, S. 1 und S.2</ref>
 
Der naive Mengenbegriff erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension von Mengen, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von Mengen zu weiteren Mengen.
 
{{TBD|[[Georg Cantor]], [[Gottlob Frege]]}}


===Axiomatische Mengenlehre===
===Axiomatische Mengenlehre===

Version vom 1. Mai 2015, 20:05 Uhr

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Definition (Brockhaus[1])

Mengenlehre, diejenige mathemat. Theorie, die sich mit den Eigenschaften von und den Beziehungen zw. Mengen beschäftigt.

Definition (Kowarschick)

Mengenlehre ist die mathematische Theorie von der Komprehension, d.h. die mathematische Theorie von der Zusammenfassung von Objekten zu einer Gesamtheit.

Typische Gesamtheiten

  • Mengen: ungeordnet, jedes Objekt kann höchstens einmal enthalten sein
  • Klassen: ungeordnet, jedes Objekt kann höchstens einmal enthalten sein
  • Multimengen: ungeordnet, jedes Objekt kann mehrfach enthalten sein
  • geordnete Paare: geordnet, genau zwei (evtl. identische) Objekte sind enthalten
  • Tupel: geordnet, jedes Objekt kann mehrfach enthalten sein

Anmerkungen

Man unterscheidet zwischen der „naiven Mengenlehre“ und der „axiomatischen Mengenlehre“.[1]

Naive Mengenlehre

Felix Hausdorff nennt einen Mengenbegriff „naiv“, wenn er zu Paradoxien, wie z.B. der sogenannten Russellschen Antinomie führt.[2]

Der naive Mengenbegriff erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension von Mengen, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von Mengen zu weiteren Mengen.

TO BE DONE

Georg Cantor, Gottlob Frege

Axiomatische Mengenlehre

Bei der axiomatischen Mengenlehre, wird versucht, diese Antinomien durch Beschränkung der Komprehension zu vermeiden. Ob dies allerdings tatsächlich gelungen ist – wovon man heute ausgeht –, kann nicht bewiesen werden. Dies ist eine der Schlussfolgerungen, die man aus dem zweiten Unvollständigkeitssatz von Kurt Gödel[3] ziehen kann.

Gängige Axiomensystem

Geschichte

TO BE DONE

Quellen

  1. ↑ 1,0 1,1 Brockhaus (1991, MAG-MOD): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 14, MAG-MOD; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1114-6; 1991; Quellengüte: 5 (Buch)
  2. ↑ , S. 1 und S.2
  3. ↑ Gödel (1931): Kurt Gödel; Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I; in: Monatshefte für Mathematik und Physik; Band: 38; Nummer: 1; Seite(n): 173-198; Verlag: Springer-Verlag GmbH; Adresse: Wien; Web-Link; 1931; Quellengüte: 5 (Artikel)

Siehe auch

  1. Russellsche Antinomie
  2. Typentheorie
  3. Schmidt (1966): Jürgen Schmidt; Mengenlehre – Grundbegriffe; Reihe: B.I.Hochschultaschenbücher; Band: 1; Nummer: 56; Verlag: Bibliographisches Institut AG; Adresse: Mannheim; ISBN: B0000BUJC6; 1966; Quellengüte: 5 (Buch)
  4. Felscher (1978): W. Felscher; Naive Mengen und abstrakte Zahlen; Band: 1; Verlag: BI-Wissenschaftsverlag; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-411-01538-1; 1978; Quellengüte: 5 (Buch)
  5. Ebbinghaus (2003): Heinz-Dieter Ebbinghaus; Einführung in die Mengenlehre; Reihe: Hochschultaschenbuch; Auflage: 4; Verlag: Spektrum Akademischer Verlag; Adresse: Heidelberg, Berlin; ISBN: 3-8274-1411-3; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
  6. Wußing (2009): Hans Wußing; 6000 Jahre Mathematik – Eine kulturgeschichtliche Zeitreise – Von Euler bis zur Gegenwart; Hrsg.: H.W. Alten, A. Djafari Naini und H. Wesenmüller-Kock; Band: Band 2; Auflage: 1; Verlag: Springer-Verlag GmbH; Adresse: Berlin; ISBN: 3642023630; 2009; Quellengüte: 5 (Buch)
  7. Bedürftig, Murawski (2010): Thomas Bedürftig und Roman Murawski; Philosophie der Mathematik; Verlag: Walter de Gruyter GmbH; Adresse: Berlin; ISBN: 978-3110190939; Web-Link; 2010; Quellengüte: 5 (Buch)
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