Metasprache: Unterschied zwischen den Versionen

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=Definition (Brockhaus)<ref>{{Quelle|Brockhaus (1991 MAG-MOD)}}</ref>=
==Definitionen ([[Duden Band 5 (2001)|Duden – Das Fremdwörterbuch (2001)]])<ref>{{Quelle|Duden Band 5 (2001)}}</ref>==


[[Metasprache]], Sprache oder Symbolsystem zur wiss. Beschreibung einer Sprache oder eines Symbolsystems,  
''[[Metasprache|Objektsprache]]: (Sprachw.) Sprache als Gegenstand der Betrachtung, die mit der [[Metasprache]] beschrieben wird''
z. B. eine formalisierte Sprache, in der die Beschreibung einer natürl. Sprache vorgenommen wird.
Eine M[etasprache] kann ihrerseits wieder [[Metasprache|Objektsprache]] einer M[etasprache]
[, der so genannten [[Metasprache|Metametasprache]] (Anm. von [[Kowarschick]]),] werden.


=Definition (Brockhaus)<ref>{{Quelle|Brockhaus (1991 NOS-PER)}}</ref>=
''[[Metasprache]]: (Sprachw., Informatik, Math.) wissenschaftliche, terminologische Beschreibung der natürlichen Sprache; Sprache od. Symbolsystem, das dazu dient, Sprache od. ein Symbolsystem zu beschreiben od. zu analysieren; vgl. [[Metasprache|Metametasprache]]''


[[Metasprache|Objektsprache]], Sprachwissenschaft:
''[[Metasprache|Metametasprache]]: Sprache, in der eine [[Metasprache]] (als [[Metasprache|Objektsprache]]) beschrieben wird''
# natürl. Sprache, mit der auf einen außersprachl. Sachverhalt Bezug genommen wird;
# Sprache (natürl. Sprache, Fremdsprache, formalisierte Sprache), die in einer [[Metasprache]] beschrieben wird.


=Definition (Gellert, Kästner)<ref name="GK">{{Quelle|Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik}}</ref>=
==Definition ([[Brockhaus (1991 MAG-MOD)|Brockhaus (1991, MAG-MOD)]] und [[Brockhaus (1991 NOS-PER)|(1991, NOS-PER))]]<ref>{{Quelle|Brockhaus (1991 MAG-MOD)}}</ref><ref>{{Quelle|Brockhaus (1991 NOS-PER)}}</ref>==


[[Metasprache]]: Sprache, in der über [[Aussage]]n einer anderen Sprache, der '''Objektsprache''', gesprochen wird.
''[[Metasprache|Objektsprache]], Sprachwissenschaft:''
# ''natürl. Sprache, mit der auf einen außersprachl. Sachverhalt Bezug genommen wird;''
# ''Sprache (natürl. Sprache, Fremdsprache, formalisierte Sprache), die in einer [[Metasprache]] beschrieben wird.''


=Definition ([[Kowarschick]], analog zu <ref name="GK" />)=
''[[Metasprache]], Sprache oder Symbolsystem zur wiss. Beschreibung einer Sprache oder eines Symbolsystems, {{zB}} eine formalisierte Sprache, in der die Beschreibung einer natürl. Sprache vorgenommen wird. Eine M[etasprache] kann ihrerseits wieder [[Metasprache|Objektsprache]] einer M[etasprache] ['', der so genannten [[Metasprache|Metametasprache]] (Anm. von [[Kowarschick]]),''] werden''.
 
==Definition ([[Gellert, Kästner, Neuber (1979)]])<ref name="GK">{{Quelle|Gellert, Kästner, Neuber (1979)}}</ref>==
 
''[[Metasprache]]: Sprache, in der über [[Aussage]]n einer anderen Sprache, der '''Objektsprache''', gesprochen wird.''
 
==Definition ([[Kowarschick]], analog zu Gellert, Kästner, Neuber (1979))==


[[Metasprache|Metametasprache]]: Sprache, in der über [[Aussage]]n einer [[Metasprache]] gesprochen wird.
[[Metasprache|Metametasprache]]: Sprache, in der über [[Aussage]]n einer [[Metasprache]] gesprochen wird.
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Et cetera.
Et cetera.


=Anmerkungen und Beispiele<ref name="GSKM">vgl. {{Quelle|Güntzer, U.; Schmidt, G.; Kempf, M.; Möller, B. (1989): Mathematische Logik}}</ref>=
==Vermischung von Objekt- und Metaebene==


Laut Brockhaus<ref>{{Quelle|Brockhaus (1988 EX-FRT)}}</ref> war es [[Gottlob Frege]], der in seiner Schrift „Über Sinn und Bedeutung“<ref>{{Quelle|Frege (1892)}}</ref>  
Laut [[Brockhaus (1988 EX-FRT)|Brockhaus (1988, EX-FRT), Stichwort „Frege“]]<ref>{{Quelle|Brockhaus (1988 EX-FRT)}}, Stichwort „Frege“, S. 617</ref> war es [[Gottlob Frege]], der in seiner Schrift „Über Sinn und Bedeutung“<ref name="Frege (1892)">{{Quelle|Frege (1892)}}</ref>  
erstmals scharf zwischen Objekt- und Metasprache trennte.
erstmals scharf zwischen Objekt- und Metasprache trennte. Frege führt in dieser Schrift aus, dass man in einer Sprache über die Sprache sprechen kann:


Man kann ''in'' einer Sprache reden (z.B. ''in'' Deutsch) oder ''über'' eine Sprache (z.B. ''über'' Deutsch als
<div class="quote">
englisch- oder auch als deutschsprachiger Germanist).
Wenn man in der gewöhnlichen Weise Worte gebraucht, so ist das, wovon man sprechen will,
deren Bedeutung. Es kann aber auch vorkommen, daß man von den Worten selbst oder von ihrem
Sinne reden will. Jenes geschieht z.B., wenn man die Worte eines anderen in gerader Rede
anführt. Die eigenen Worte bedeuten dann zunächst die Worte des anderen, und erst diese haben
die gewöhnliche Bedeutung. Wir haben dann Zeichen von Zeichen. In der Schrift schließt man in
diesem Falle die Wortbilder in Anführungszeichen ein. Es darf also ein in Anführungszeichen
stehendes Wortbild nicht in der gewöhnlichen Bedeutung genommen werden.
</div>


Amerikanischen Germanisten reden ''auf'' Englisch (Metasprache) ''über'' Deutsch (Objektsprache).
Man kann also ''in'' einer Sprache reden oder ''über'' eine Sprache. Amerikanischen Germanisten reden ''in'' englisch (Metasprache) ''über'' Deutsch (Objektsprache),
Deutsche Germanisten reden ''auf'' Deutsch (Metasprache) ''über'' Deutsch (Objektsprache):
Deutsche Germanisten reden ''in'' deutsch (Metasprache) ''über'' Deutsch (Objektsprache). Üblichereweise werden in so einem Fall die Wörter der Objektsprache, wie von Frege angemerkt, in Anführungszeichen eingeschlossen:


<div class="formula">The German sentence „Hans trinkt Tee“ consists of a subject, a predicate and an object.</div>
<div class="formula">The German sentence „Hans trinkt Tee“ consists of a subject, a predicate and an object.</div>
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<div class="formula">''This is not an English sentence.''</div>
<div class="formula">''This is not an English sentence.''</div>


Auch in diesem findet  eine Vermischung der Sprachebenen statt.
Auch in diesen Sätzen findet  eine Vermischung der Sprachebenen statt.
 
Dieses Problem wurde schon von [[Girolamo Savonarola]] im Jahr [[1542]] beschrieben: Unter dem Titel „Insolubile propositum, nec est concedendum nec negandum“ („Unlösbare Aussage, weder kann ihr beigepflichtet werden, noch kann sie verneint werden") behandelt er Aussagen, die sich selbst zerstören:<ref>{{Quelle|Savonarola (1542)}}, Liber Decimus, Nr. 18, S. 214  – 215 (PDF: S. 883  – 884)</ref>
<div class="formula">''Insolubile est proposition seipsas destruens.'' (Unlösbar ist eine Aussage, die sich selbst zerstört.)</div>
Als Beispiel führt Savonarola dann folgenden Satz an:
<div class="formula">''..., hoc est falsum, ...'' (... ,diese [Aussage] ist falsch, ...)</div>
Falls diese Aussage wahr ist, muss sie (laut eigener Aussage) falsch sein. Falls sie jedoch falsch ist, ist die Aussage, dass sie falsch sei, korrekt.
 
Manchmal ist die Vermischung von Objekt- und Metaebene jedoch notwendig,
um neue, bahnbrechende Einsichten zu erhalten. [[Kurt Gödel]] hat mit seinem berühmten
[[Erster Gödelscher Unvollständigkeitsatz|erstem Unvollständigkeitsatz]] bewiesen, dass es in jedem
widerspruchsfreiem axiomatischen System, dass die Arithmetik der natürlichen Zahlen umfasst, wahre Aussagen gibt,
die nicht mit Hilfe des Systems bewiesen werden können. Das bedeutet, dass es kein Axiomensystem gibt, mit dem sich alle arithmetischen Wahrheiten beweisen lassen.<ref>{{Quelle|Gödel (1931)}}</ref>
 
Gödels Beweisidee basiert auf einer Vermischung der Sprachebenen. Zunächst definiert er – auf Objektebene! – mit Hilfe der Arithmetik der
natürlichen Zahlen einen [[Kalkül|Beweiskalkül]] G. Anschließend transformiert er den Satz „Diese Aussage lässt sich innerhalb des Systems G nicht beweisen.“
in die Objektsprache. Diese in die Objektsprache transformierte Aussage kann tatsächlich nicht mit Hilfe des Systems G bewiesen werden, da dies sofort zu einem
Widersprucht führen würde. Also gibt es eine ''wahre'' Aussage, die innerhalb von G nicht beweisen werden kann. Die Schlussfolgerung,
dass es sich bei G um eine wahre Aussage handelt, findet auf der Metaebene, also ''außerhalb'' des Systems G statt.


=Mathematische Logik=
==Mathematische Logik==


Laut [[Logik|Definition]] ist es Ziel der [[Logik|mathematischen Logik]], das natürliche, umgangssprachliche Hantieren mit [[Aussage]]n und [[Folgerung]]en in einem mathematischen Formalisms, einem [[Kalkül]], zu präzisieren, um zu einer rein mechanischen Ausführung von Beweisen zu gelangen. Um Probleme zu vermeiden, wie
Laut [[Logik|Definition]] ist es Ziel der [[Logik|mathematischen Logik]], das natürliche, umgangssprachliche Hantieren mit [[Aussage]]n und [[Folgerung]]en in einem mathematischen Formalismus ( [[Kalkül]]), so zu präzisieren, dass man Beweise rein mechanisch durchführen kann. Um Probleme zu vermeiden, wie
sie zuvor anhand von Beispielen aufgezeigt wurden, ist es in diesem Teilgebiet der Mathematik extrem wichtig, zwischen Objekt- und Metasprache zu unterscheiden.
sie zuvor anhand von Beispielen aufgezeigt wurden, ist es in diesem Teilgebiet der Mathematik extrem wichtig, zwischen Objekt- und Metasprache zu unterscheiden.


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   <tr>
     <td>Objektsprache<br /></td>
     <td>Objektsprache<br /></td>
     <td>[[Ausdruck|Ausdrücke]] und [[Term]]e<br /> bestehend aus ¬, ∧, ∨, →, ↔, ∃, ∀ etc.  
     <td>[[Ausdruck|Ausdrücke]] und [[Term]]e bestehend<br />aus $\neg$, $\wedge$, $\vee$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$, $\bigwedge$, $\bigvee$ etc.
     <td>Wahrheitswerte, formal definiert<br /> mittels einer Metasprache </td>
 
     <td>[[Objektsprache/Aussagelogik]]<br />[[Objektsprache/Prädikatenlogik]]</td>
     <td>Wahrheitswerte, formal definiert<br /> mittels der Metasprache </td>
     <td>[[GlossarWiki:Objektsprache]]</td>
   </tr>
   </tr>
   <tr>
   <tr>
     <td>Metasprache</td>
     <td>Metasprache</td>
     <td>[[Ausdruck|Ausdrücke]] und [[Term]]e<br /> bestehend aus ~, &, ⇒, ⇔ etc.<br /> sowie deutsche Sätze</td>
     <td>[[Ausdruck|Ausdrücke]] und [[Term]]e bestehend<br /> aus $\neg$, $\wedge$, $\vee$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$, $\bigwedge$, $\bigvee$ etc.<br /> sowie deutsche Sätze
 
Wenn es auf die Unterscheidung<br>zwischen Objekt- und Metaausdrücken<br/>ankommt, werden Objektausdrücke in <br/>Anlenhnung an [[Frege (1892)]]<ref name="Frege (1892)"/> <br/>und [[Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983)|Glburecht et al. (1983)]] <ref>{{Quelle|Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983)}}</ref><br/>in Klammern $\ulcorner$ und $\urcorner$ gesetzt.
 
Man könnte aber für die Metasprache<br/>einfach auch andere Symbole<br/>verwenden: $\sim$, $\&$, $\parallel$, $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\forall$, $\exists$</td>
     <td>informell beschrieben mittels<br /> der Metametasprache</td>
     <td>informell beschrieben mittels<br /> der Metametasprache</td>
     <td>[[Elementare Mengenlehre]]<br />[[Metasprache/Aussagelogik]]<br />[[Metasprache/Prädikatenlogik]]</td>
     <td>[[GlossarWiki:Metasprache]]</td>
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=Gödelscher Unvollständigkeitssatz=
==Quellen==
 
Allerdings ist die Vermischung von Objekt- und Metaebene manchmal notwendig,
um neue, bahnbrechende Einsichten zu erhalten.
 
[[Kurt Gödel]] hat mit seinem berühmten [[Erster Gödelscher Unvollständigkeitsatz|erstem Unvollständigkeitsatz]] bewiesen, dass es in jedem
widerspruchsfreiem axiomatischen System, dass die Arithmetik der natürlichen Zahlen umfasst, wahre Ausagen gibt,
die nicht mit Hilfe des Systems bewiesen werden können.<ref>{{Quelle|Gödel (1931)}}</ref>
 
Seine Beweisidee basiert ebenfalls auf einer Vermischung der Sprachebenen. Zunächst definiert er – auf Objektebene! – mit Hilfe der Arithmetik der
natürlichen Zahlen einen [[Kalkül|Beweiskalkül]] G. Anschließend transformiert er den Satz „Diese Aussage lässt sich innerhalb des Systems G nicht beweisen.“
in die Objektsprache. Diese in die Objektsprache transformierte Aussage kann tatsächlich nicht mit Hilfe des Systems G bewiesen werden, da dies sofort zu einem
Widersprucht führen würde. Also gibt es eine ''wahre'' Aussage, die innerhalb von G nicht beweisen werden kann. Die Schlussfolgerung,
dass es sich bei G um eine wahre Aussage handelt, findet auf der Metaebene, also ''außerhalb'' des Systems G statt.
 
Kurz gesagt: Gödel hat bewiesen, dass es kein Axiomensystem gibt, mit dem sich alle arithmetischen Wahrheiten beweisen lassen.
Damit ist der Traum von [[David Hilbert]], mit der [[Principia Mathematica]] die Arithmetik vollständig und widerspruchsfrei zu axiomatisieren, geplatzt.
 
Ein sehr anschauliche Version des Beweises von Gödel einschließlich vieler Implikationen, die dieser
Satz zur Folge hat, findet man in dem Buch „Gödel, Escher, Bach“ von Douglas R. Hofstadter<ref>{{Quelle|Hofstadter, D.R. (1987): Gödel, Escher, Bach}}</ref>.
 
Die Idee hinter dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz kann man sich sehr schön an folgendem Beispiel klar machen:
 
<div class="formula">''Der Leser kann diesen Satz (namens „GöU“) nicht beweisen.''</div>
 
Bei „GöU“ handelt es sich um einen wahren Satz.
 
<div class="formula">'''Beweis (durch den Wiki-Autor dieses Artikels)'''
 
''Wenn der Leser „GöU“ beweisen könnte, würde er beweisen, dass er „GöU“ nicht beweisen kann. Da dies einen Widerspruch darstellt, kann der Leser „GöU“ nicht beweisen. Der Satz ist also wahr!''
</div>
 
Damit gibt es also einen wahren Satz, den das axiomatische System „Leser“ nicht beweisen kann.
 
Auf dieselbe Weise kann der Autor dieses Artikels sogar den Satz
<div class="formula">''Der Leser kann diesen Satz (namens „WAHR?“) nicht für wahr halten.''</div>
als wahr beweisen.
(Man beachte, dass es sich beim vorangegangenen Satz um einen Satz auf Metametaebene handelt,
da im darin enthaltenen Satz „WAHR?“ bereits Objekt- und Metaebene vermischt werden.)
 
Die Tatsache, das der Satz „WAHR?“ beweisbar korrekt ist, ist für den Autor dieses Artikels besonders dramatisch:
Als Wiki-Autor kann er die Wahrheit des Satzes „WAHR?“ beweisen,
aber als Leser muss er, nachdem er den Beweis fertiggestellt hat und den Satz noch einmal auf Fehler hin durchliest,
erkennen, dass der Satz (für ihn als Leser!) falsch sein '''muss'''.
 
==Quellen der Sätze „GöU“ und „WAHR?“==
 
Die ursprüngliche Version des Satzes „GöU“ lautet folgendermaßen
<div class="formula">''Lucas cannot consistently assert this sentence.''<ref name="MindI">[[Hofstadter, Dennett (1985)]], Chapter 17, Reflections</ref></div>
oder – in deutscher Übersetzung –
<div class="formula">''Lucas kann diesen Satz nicht widerspruchsfrei behaupten.''<ref>[[Hofstadter (1987)]], Seite 510</ref></div>
und war als Antwort von C. H. Whietely an J. R. Lucas gedacht. Lucas hat aus Gödels Unvollständigkeitssatz geschlussfolgert,
dass „der Geist nicht als Maschine zu erklären ist“<ref>[[Hofstadter (1987)]], Seite 504</ref>,
dass also der menschliche Geist prinzipiell mehr vollbringen kann, als Maschinen, da er den Gödelschen Beschränkungen nicht unterliegen würde.
Wie allerdings Hofstadter, Whitely und andere nachvollziehbar darlegen, gibt es auch für den menschlichen Geist
unüberwindbare Beschränkungen, so dass die Argumentation von Lucas nicht stichhaltig ist. 
 
Die ursprüngliche Veriosn desSatzes „WAHR?“ lautet:
<div class="formula">''Lucas cannot consistently believe this sentence.''<ref name="MindI" /></div>
 
=Quellen=
<references />
<references />


=Siehe auch=
==Siehe auch==


# [[Aussage]]
# [[Metatheorie]]
# [[Aussage (Logik)|Aussage]]
# [[Russellsche Antinomie]]
# [[Russellsche Antinomie]]
# [[Epimenides]]
# [[Epimenides]]


[[Kategorie:Logik]]
[[Kategorie:Logik]]

Aktuelle Version vom 12. April 2020, 13:12 Uhr

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(ausgezeichnet)

Definitionen (Duden – Das Fremdwörterbuch (2001))[1]

Objektsprache: (Sprachw.) Sprache als Gegenstand der Betrachtung, die mit der Metasprache beschrieben wird

Metasprache: (Sprachw., Informatik, Math.) wissenschaftliche, terminologische Beschreibung der natürlichen Sprache; Sprache od. Symbolsystem, das dazu dient, Sprache od. ein Symbolsystem zu beschreiben od. zu analysieren; vgl. Metametasprache

Metametasprache: Sprache, in der eine Metasprache (als Objektsprache) beschrieben wird

Definition (Brockhaus (1991, MAG-MOD) und (1991, NOS-PER))[2][3]

Objektsprache, Sprachwissenschaft:

  1. natürl. Sprache, mit der auf einen außersprachl. Sachverhalt Bezug genommen wird;
  2. Sprache (natürl. Sprache, Fremdsprache, formalisierte Sprache), die in einer Metasprache beschrieben wird.

Metasprache, Sprache oder Symbolsystem zur wiss. Beschreibung einer Sprache oder eines Symbolsystems, z. B. eine formalisierte Sprache, in der die Beschreibung einer natürl. Sprache vorgenommen wird. Eine M[etasprache] kann ihrerseits wieder Objektsprache einer M[etasprache] [, der so genannten Metametasprache (Anm. von Kowarschick),] werden.

Definition (Gellert, Kästner, Neuber (1979))[4]

Metasprache: Sprache, in der über Aussagen einer anderen Sprache, der Objektsprache, gesprochen wird.

Definition (Kowarschick, analog zu Gellert, Kästner, Neuber (1979))

Metametasprache: Sprache, in der über Aussagen einer Metasprache gesprochen wird.

Metametametasprache: Sprache, in der über Aussagen einer Metametasprache gesprochen wird.

Et cetera.

Vermischung von Objekt- und Metaebene

Laut Brockhaus (1988, EX-FRT), Stichwort „Frege“[5] war es Gottlob Frege, der in seiner Schrift „Über Sinn und Bedeutung“[6] erstmals scharf zwischen Objekt- und Metasprache trennte. Frege führt in dieser Schrift aus, dass man in einer Sprache über die Sprache sprechen kann:

Wenn man in der gewöhnlichen Weise Worte gebraucht, so ist das, wovon man sprechen will, deren Bedeutung. Es kann aber auch vorkommen, daß man von den Worten selbst oder von ihrem Sinne reden will. Jenes geschieht z.B., wenn man die Worte eines anderen in gerader Rede anführt. Die eigenen Worte bedeuten dann zunächst die Worte des anderen, und erst diese haben die gewöhnliche Bedeutung. Wir haben dann Zeichen von Zeichen. In der Schrift schließt man in diesem Falle die Wortbilder in Anführungszeichen ein. Es darf also ein in Anführungszeichen stehendes Wortbild nicht in der gewöhnlichen Bedeutung genommen werden.

Man kann also in einer Sprache reden oder über eine Sprache. Amerikanischen Germanisten reden in englisch (Metasprache) über Deutsch (Objektsprache), Deutsche Germanisten reden in deutsch (Metasprache) über Deutsch (Objektsprache). Üblichereweise werden in so einem Fall die Wörter der Objektsprache, wie von Frege angemerkt, in Anführungszeichen eingeschlossen:

The German sentence „Hans trinkt Tee“ consists of a subject, a predicate and an object.
Der deutsche Satz „Hans trinkt Tee“ besteht aus einem Subjekt, einem Prädikat und einem Objekt.

Allerdings kann die Vermischung von Sprachschichten mittels Selbstreferenz zu Paradoxien führen:

Diser Saz enthält drei Fehler.

Wer das geschrieben hat, kann nicht fehlerfrei schreiben, obendrein auch nicht zählen. Oh, das ist dann der 3. Fehler. Dann enthält der Satz doch nur Rechtschreibe- und keine Zählfehler, also nur zwei Fehler, also doch einen Zählfehler, usw.[7][8]

Das Problem entsteht dadurch, dass der Satz „lediglich“ zwei syntaktische Fehler enthält (Syntax: Objektebene). Das Zählen der Fehler findet dagegen auf der semantischen Ebene statt (Semantik: Metaebene).

Weitere Beispiele:

Antworten Sie auf diese Frage mit einer Verneinung?
Befolgen Sie diese Anweisung nicht!
Dies ist kein englischer Satz.

Die selbstreferentielle Frage kann nicht korrekt (mit „Ja“ oder „Nein“ oder Ähnlichem) beantwortet werden, die selbstreferentielle Anweisung kann nicht korrekt befolgt werden. Der dritte Satz kann nicht problemlos in Englisch übersetzt werden, ohne seinen Wahrheitsgehalt zu ändern:

This is not an English sentence.

Auch in diesen Sätzen findet eine Vermischung der Sprachebenen statt.

Dieses Problem wurde schon von Girolamo Savonarola im Jahr 1542 beschrieben: Unter dem Titel „Insolubile propositum, nec est concedendum nec negandum“ („Unlösbare Aussage, weder kann ihr beigepflichtet werden, noch kann sie verneint werden") behandelt er Aussagen, die sich selbst zerstören:[9]

Insolubile est proposition seipsas destruens. (Unlösbar ist eine Aussage, die sich selbst zerstört.)

Als Beispiel führt Savonarola dann folgenden Satz an:

..., hoc est falsum, ... (... ,diese [Aussage] ist falsch, ...)

Falls diese Aussage wahr ist, muss sie (laut eigener Aussage) falsch sein. Falls sie jedoch falsch ist, ist die Aussage, dass sie falsch sei, korrekt.

Manchmal ist die Vermischung von Objekt- und Metaebene jedoch notwendig, um neue, bahnbrechende Einsichten zu erhalten. Kurt Gödel hat mit seinem berühmten erstem Unvollständigkeitsatz bewiesen, dass es in jedem widerspruchsfreiem axiomatischen System, dass die Arithmetik der natürlichen Zahlen umfasst, wahre Aussagen gibt, die nicht mit Hilfe des Systems bewiesen werden können. Das bedeutet, dass es kein Axiomensystem gibt, mit dem sich alle arithmetischen Wahrheiten beweisen lassen.[10]

Gödels Beweisidee basiert auf einer Vermischung der Sprachebenen. Zunächst definiert er – auf Objektebene! – mit Hilfe der Arithmetik der natürlichen Zahlen einen Beweiskalkül G. Anschließend transformiert er den Satz „Diese Aussage lässt sich innerhalb des Systems G nicht beweisen.“ in die Objektsprache. Diese in die Objektsprache transformierte Aussage kann tatsächlich nicht mit Hilfe des Systems G bewiesen werden, da dies sofort zu einem Widersprucht führen würde. Also gibt es eine wahre Aussage, die innerhalb von G nicht beweisen werden kann. Die Schlussfolgerung, dass es sich bei G um eine wahre Aussage handelt, findet auf der Metaebene, also außerhalb des Systems G statt.

Mathematische Logik

Laut Definition ist es Ziel der mathematischen Logik, das natürliche, umgangssprachliche Hantieren mit Aussagen und Folgerungen in einem mathematischen Formalismus ( Kalkül), so zu präzisieren, dass man Beweise rein mechanisch durchführen kann. Um Probleme zu vermeiden, wie sie zuvor anhand von Beispielen aufgezeigt wurden, ist es in diesem Teilgebiet der Mathematik extrem wichtig, zwischen Objekt- und Metasprache zu unterscheiden.

In diesem Wiki werden folgende Sprachen verwendet:

Sprache Syntax Semantik In diesem Wiki
Objektsprache
 Ausdrücke und Terme bestehend
aus $\neg$, $\wedge$, $\vee$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$, $\bigwedge$, $\bigvee$ etc. 		Wahrheitswerte, formal definiert
mittels der Metasprache 		GlossarWiki:Objektsprache
Metasprache Ausdrücke und Terme bestehend
aus $\neg$, $\wedge$, $\vee$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$, $\bigwedge$, $\bigvee$ etc.
sowie deutsche Sätze

Wenn es auf die Unterscheidung
zwischen Objekt- und Metaausdrücken
ankommt, werden Objektausdrücke in
Anlenhnung an Frege (1892)[6]
und Glburecht et al. (1983) [11]
in Klammern $\ulcorner$ und $\urcorner$ gesetzt.

Man könnte aber für die Metasprache
einfach auch andere Symbole
verwenden: $\sim$, $\&$, $\parallel$, $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\forall$, $\exists$		 informell beschrieben mittels
der Metametasprache		 GlossarWiki:Metasprache
Metametasprache etc. Deutsch
(Rechtschreibung und Grammatik)		 als bekannt vorausgesetzte
Semantik der deutschen Sprache

Quellen

  1. ↑ Duden Band 5 (2001): Duden – Das Fremdwörterbuch; Band: 5; Auflage: 7; Verlag: Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus AG; Adresse: Mannheim; ISBN: 3411040572; 2001; Quellengüte: 5 (Buch)
  2. ↑ Brockhaus (1991, MAG-MOD): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 14, MAG-MOD; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1114-6; 1991; Quellengüte: 5 (Buch)
  3. ↑ Brockhaus (1991, NOS-PER): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 16, MAG-MOD; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1116-2; 1991; Quellengüte: 5 (Buch)
  4. ↑ Gellert, Kästner, Neuber (1979): Lexikon der Mathematik; Hrsg.: Walter Gellert, Herbert Kästner und Siegfried Neuber; Auflage: 2; Verlag: VEB Bibliographisches Institut Leipzig; Adresse: Leipzig; 1979; Quellengüte: 5 (Buch)
  5. ↑ Brockhaus (1988, EX-FRT): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 7, EX-FRT; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1107-3, 3-7653-1207-X; 1988; Quellengüte: 5 (Buch), Stichwort „Frege“, S. 617
  6. ↑ 6,0 6,1 Frege (1892): Gottlob Frege; Über Sinn und Bedeutung; in: Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik; Band: 100; Seite(n): 25-50; Web-Link 0, Web-Link 1, Web-Link 2; 1892; Quellengüte: 5 (Artikel)
  7. ↑ Güntzer, Schmidt, Kempf, Möller (1989): Ulrich Güntzer, Gunther Schmidt, Michael Kempf und Bernhard Möller; Mathematische Logik; Band: TUM-I-8900; Hochschule: Technische Universität München; 1989; Quellengüte: 4 (Skript), Seite 1-7
  8. ↑ vgl. auch Hofstadter, Dennett (1985): Douglas R. Hofstadter und Daniel C. Dennett; The Mind's I – Fantasies and Reflections on Self and Soul; Verlag: Bantam Dell; ISBN: 0553345842; Web-Link; 1985; Quellengüte: 5 (Buch), Chapter 17, Reflections
  9. ↑ Savonarola (1542): Girolamo Savonarola; Dr. B. Bolzanos Wissenschaftslehre – Compendivm totivs philosophiae, tam naturalis, quam moralis. Opus de divisione ordine, ac utilitate omnium scientiarum, in poeticen apologeticum. Compendium logices.; Verlag: Venetijs apud Iuntas; Web-Link; 1542; Quellengüte: 5 (Buch), Liber Decimus, Nr. 18, S. 214 – 215 (PDF: S. 883 – 884)
  10. ↑ Gödel (1931): Kurt Gödel; Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I; in: Monatshefte für Mathematik und Physik; Band: 38; Nummer: 1; Seite(n): 173-198; Verlag: Springer-Verlag GmbH; Adresse: Wien; Web-Link; 1931; Quellengüte: 5 (Artikel)
  11. ↑ Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983): Jürgen-Michael Glubrecht, Arnold Oberschelp und Günter Todt; Klassenlogik; Verlag: Bibliographisches Institut; Adresse: Mannheim, Wien, Zürich; ISBN: 3-411-01634-5, 978-3411016341; 1983; Quellengüte: 5 (Buch)

Siehe auch

  1. Metatheorie
  2. Aussage
  3. Russellsche Antinomie
  4. Epimenides
Abgerufen von „https://glossar.hs-augsburg.de/w/index.php?title=Metasprache&oldid=49727“