Mengenlehre: Unterschied zwischen den Versionen

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Der naive Mengenbegriff erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von  
Der naive Mengenbegriff erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von  
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Elementen des zugrundeliegenden Universums zu Mengen. Beispielsweise erlauben sowohl das (sicherlich nicht naive) Axiomensystem von [[Gottlob Frege]] (1893)<ref>{{Quelle|Frege (1893)}}</ref> als auch die [[Menge_(Mengenlehre)#Definition_.28Cantor_.281893.29.5B2.5D.29|informellen Definitionen des Mengenbegriffs]] von [[Georg Cantor]] (1893, 1895)<ref>{{Quelle|Cantor (1893)}}</ref><ref>{{Quelle|Cantor (1895)}}</ref>
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Version vom 2. Mai 2015, 15:43 Uhr

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Definition (Brockhaus[1])

Mengenlehre, diejenige mathemat. Theorie, die sich mit den Eigenschaften von und den Beziehungen zw. Mengen beschäftigt.

Definition (Kowarschick)

Mengenlehre ist die mathematische Theorie von der Komprehension, d.h. die mathematische Theorie von der Zusammenfassung von Objekten zu einer Gesamtheit.

Typische Gesamtheiten

  • Mengen: ungeordnet, jedes Objekt kann höchstens einmal enthalten sein
  • Klassen: ungeordnet, jedes Objekt kann höchstens einmal enthalten sein
  • Multimengen: ungeordnet, jedes Objekt kann mehrfach enthalten sein
  • geordnete Paare: geordnet, genau zwei (evtl. identische) Objekte sind enthalten
  • Tupel: geordnet, jedes Objekt kann mehrfach enthalten sein

Anmerkungen

Man unterscheidet heutzutage zwischen der „naiven Mengenlehre“ und der „axiomatischen Mengenlehre“.[1] Allerdings sollte man eher zwischen unbeschränkter („naiver“) und beschränkter Mengenbildung (bzw. unbeschränkter und beschränkter Komprehension) unterscheiden.

Felix Hausdorff nennt einen Mengenbegriff „naiv“, wenn er zu Paradoxien, wie z.B. der sogenannten Russellschen Antinomie führt.[2] Der naive Mengenbegriff erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von Elementen des zugrundeliegenden Universums zu Mengen. Beispielsweise erlauben sowohl das (sicherlich nicht naive) Axiomensystem von Gottlob Frege (1893)[3] als auch die informellen Definitionen des Mengenbegriffs von Georg Cantor (1893, 1895)[4][5] die unbeschränkte Mengenbildung.[6][7]

In moderneren Axiomensystemen, beginnend mit den Systemen von Bertrand Russell (1903, Typentheorie)[8] und Ernst Zermelo (1908)[9] wird versucht, diese Antinomien durch Beschränkung der Komprehension zu vermeiden. Ob dies allerdings tatsächlich gelungen ist – wovon man heute ausgeht –, kann nicht bewiesen werden. Dies ist eine der Schlussfolgerungen, die man aus dem zweiten Unvollständigkeitssatz von Kurt Gödel[10] ziehen kann.

Gängige Axiomensysteme der Mengenlehre mit beschränkter Komprehension

Quellen

  1. ↑ 1,0 1,1 Brockhaus (1991, MAG-MOD): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 14, MAG-MOD; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1114-6; 1991; Quellengüte: 5 (Buch)
  2. ↑ Hausdorff (1914): Felix Hausdorff; Grundzüge der Mengenlehre; Verlag: Veit and Company; Adresse: Leipzig; Web-Link; 1914; Quellengüte: 5 (Buch), S. 1 und S.2
  3. ↑ Frege (1893): Gottlob Frege; Grundgesetze der Arithmetik; Band: I; Verlag: Verlag Hermann Pohle; Adresse: Jena; Web-Link 0, Web-Link 1, Web-Link 2, Web-Link 3; 1893; Quellengüte: 5 (Buch)
  4. ↑
  5. ↑ Cantor (1895): Georg Cantor; Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre; in: Mathematische Annalen; Band: 46; Nummer: 4; Seite(n): 481 – 512; Verlag: B. G. Teubner Verlag; Adresse: Leipzig; ISSN: 00255831 (Papier), 14321807 (Online); Web-Link 0, Web-Link 1, Web-Link 2, Web-Link 3; 1895; Quellengüte: 5 (Artikel)
  6. ↑ Gabriel et al. (1980): Gottlob Frege; Gottlob Freges Briefwechsel mit D. Hilbert, E. Husserl, B. Russell sowie ausgewählte Einzelbriefe Freges; Hrsg.: Gottfried Gabriel, Friedrich Kambartel und Christian Thiel; Verlag: Meiner Felix Verlag; ISBN: 3787304827; Web-Link; 1980; Quellengüte: 5 (Buch), S. 59f, Brief von Russell an Frege vom 16. Juni 1902
  7. ↑ Frege (1903): Gottlob Frege; Grundgesetze der Arithmetik; Band: II; Verlag: Verlag Hermann Pohle; Adresse: Jena; Web-Link 0, Web-Link 1; 1903; Quellengüte: 5 (Buch), Nachwort
  8. ↑ Russell (1903): Bertrand Russell; The Principles of Mathematics; Auflage: 2; Verlag: W. W. Norton & Company; Adresse: Berlin; Web-Link; 1903; Quellengüte: 5 (Buch)
  9. ↑
  10. ↑ Gödel (1931): Kurt Gödel; Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I; in: Monatshefte für Mathematik und Physik; Band: 38; Nummer: 1; Seite(n): 173-198; Verlag: Springer-Verlag GmbH; Adresse: Wien; Web-Link; 1931; Quellengüte: 5 (Artikel)

Siehe auch

  1. Russellsche Antinomie
  2. Typentheorie
  3. Schmidt (1966): Jürgen Schmidt; Mengenlehre – Grundbegriffe; Reihe: B.I.Hochschultaschenbücher; Band: 1; Nummer: 56; Verlag: Bibliographisches Institut AG; Adresse: Mannheim; ISBN: B0000BUJC6; 1966; Quellengüte: 5 (Buch)
  4. Felscher (1978): W. Felscher; Naive Mengen und abstrakte Zahlen; Band: 1; Verlag: BI-Wissenschaftsverlag; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-411-01538-1; 1978; Quellengüte: 5 (Buch)
  5. Ebbinghaus (2003): Heinz-Dieter Ebbinghaus; Einführung in die Mengenlehre; Reihe: Hochschultaschenbuch; Auflage: 4; Verlag: Spektrum Akademischer Verlag; Adresse: Heidelberg, Berlin; ISBN: 3-8274-1411-3; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
  6. Wußing (2009): Hans Wußing; 6000 Jahre Mathematik – Eine kulturgeschichtliche Zeitreise – Von Euler bis zur Gegenwart; Hrsg.: H.W. Alten, A. Djafari Naini und H. Wesenmüller-Kock; Band: Band 2; Auflage: 1; Verlag: Springer-Verlag GmbH; Adresse: Berlin; ISBN: 3642023630; 2009; Quellengüte: 5 (Buch)
  7. Bedürftig, Murawski (2010): Thomas Bedürftig und Roman Murawski; Philosophie der Mathematik; Verlag: Walter de Gruyter GmbH; Adresse: Berlin; ISBN: 978-3110190939; Web-Link; 2010; Quellengüte: 5 (Buch)
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