Geordnetes Paar

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Definition (Brockhaus 1991)

Paar ... Mathematik: eine Menge, die aus zwei Elementen (der ersten und der zweiten Komponente) besteht, die zusätzlich in einer Ordnung stehen: $(a,b)$ ist i.a. verschieden von $(b,a)$.

Definition (Peano 1897)

$(x,y)$ indique le couple formé des objects $x$ et $y$

$(x,y) = (a,b) \;\;.=.\;\; x=a \;.\; y=b$

Anmerkung

Peano hat hier erstmals das Paaraxiom explizit formuliert. In moderner Schreibweise lautet es folgendermaßen:

$(x,y) = (a,b) \;\leftrightarrow\; x=a \wedge y=b$

Das Paaraxiom garantiert, dass das Paar „geordnet“ ist, dass also das erste und das zweite Element unterschieden werden können.

Definition (Randall Dipert 1982)

An ordered pair is, roughly speaking, (a) an entity which contains two other entities and (b) is such that one of these two entities is identifiable as the 'first', the other as the 'second'. More precisely, the individuating criterion for ordered pairs is: two ordered pairs are identical just when their respective elements' are identical. That is, if $< A, B >$ and $< C,D >$ are ordered pairs with elements $A$, $B$, $C$, and $D$, then we wish to have:

$< A,B > = < C, D>$ if and only if $A = C$ and $B = D$.

Anmerkung (von Dipert)

No other property of ordered pairs has ever been shown to be necessary or desirable. This single property is sufficient.

Definition (Kowarschick 2014)

Der Term $[a,b]$ heißt geordnetes Paar, wenn für den Operator $[\cdot,\cdot]$ das Paaraxiom erfüllt ist:

$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $

(Zwei Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.)

Projektionsoperatoren

Für geordnete Paare kann man – wegen des Paaraxioms – zwei Projektionsoperatoren $\pi_1$ und $\pi_2$ definieren, die das erste bzw. das zweite Element des Paars extrahieren:

$\bigwedge a,b: \pi_1([a,b]) = a\quad$ (das erste Element des jeweiligen Paars)

$\bigwedge a,b: \pi_2([a,b]) = b\quad$ (das zweite Element des jeweiligen Paars)

Eigenschaften von geordneten Paaren

Bei Paarmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle:

$\bigwedge a,b: \{a,b\} = \{b,a\}$

Im Gegensatz dazu sind geordnete Paare – wegen des Paaraxioms – tatsächlich geordnet:

$\bigwedge a,b: [a,b] = [b,a] \Leftrightarrow a = b$

Existenz und Eindeutigkeit der Projektionsoperatoren

Wenn das Paaraxiom erfüllt ist, gibt es genau einen Operator $\pi_1$ und genau einen Operator $\pi_2$, die die unter 4.1 definierten Eigenschaften haben.

Anmerkung

Insbesondere gilt damit für jedes Paar $p$ die Beziehung $p = [\pi_1(p),\pi_2(p)]$.

Aus der Existenz zweier Projektionsoperatoren für geordnete Paare

Wenn zwei Projektionsfunktionen $\pi_1$ und $\pi_2$ existieren, die die unter 4.1 definierten Eigenschaften erfüllen, dann ist auch das Paaraxiom erfüllt.

Anmerkung

Dieser Satz ist die Umkehrung des vorangegangen Satzes. Außerdem folgt aus dem vorangegangen Satz sofort, dass die beiden Projektionsfunktionen eindeutig sind, sofern sie überhaupt existieren.

Geschichte des Paarbegriffs

Der Paarbegriff findet sich bereits in der 1889 erschienene Arbeit „Arithmetices principia: nova methodo“ von Giuseppe Peano. Kurz vor Drucklegung des Buches „Formulaire de Mathématiques“, das das Paaraxiom enthält, publiziert Peano laut Hubert Kennedy eine kleine Studie mit Ergebnissen seiner Studien über die Herabsetzung der Zahl der Grundbegriffe auf ein Minimum.

Diese Publikation enthält sieben Festsetzungen. Eine davon steht als (x;y) für den Begriff eines geordneten Zahlenpaars, das sich aus x und y zusammensetzt. Peano bemerkt dazu: ‹Die Idee eines geordneten Zahlenpaars ist von grundsätzlicher Bedeutung. Wir wissen aber nicht, wie wir es durch die obenerwähnten Symbole ausdrücken sollen.›

1914 gelang es Norbert Wiener und Felix Hausdorff unabhängig voneinander, geordnete Paare durch Mengen auszudrücken (vgl. nachfolgende Beispiele).

Unterschied zwischen Mathematik und Informatik

Sowohl in der Mathematik als auch in der Informatik ist es von zentraler Bedeutung, unterschiedliche Objekte in „Containern“ zusammenzufassen.

In der Mathematik wird i. Allg. folgender Weg gewählt:

• Als „Basis-Container“ werden Mengen oder Klassen benutzt. Wie diese erzeugt werden, wird axiomatisch festgelegt. In diesen Containern sind die Elemente ungeordnet und jeweils höchstens einmal enthalten.
• In einem zweiten Schritt werden geordnete Paare definiert.
• Auf Basis der geordneten Paar können in einem dritten Schritt Tupel definiert werden: In diesen Containern sind die Elemente geordnet und evtl. auch mehrfach enthalten.

In der Informatik wird dagegen i. Allg. der umgekehrte Weg gewählt:

• Als „Basis-Container“ werden geordnete Paare oder Tupel bzw. Arrays, die als Verallgemeinerung des Paar-Begriffs aufgefasst werden können, benutzt. Wie diese erzeugt werden können, wird algorithmisch festgelegt. In diesen Containern sind die Elemente geordnet und evtl. auch mehrfach enthalten. Beispiele für derartige Basis-Container sind:
  • LISP: geordnete Paare („CONS-Zellen“, siehe den nachfolgenden Abschnitt „McCarthy 1960“) sowie aus CONS-Zellen gebildete Listen (siehe den Absatz „Ursprung und Varianten der Vektornotation“ im Dokument Tupel); Konstruktoren: (a . b), (CONS A B)
  • C: Verbünde (record, Tupel; Schlüsselwort: struct) und Arrays
  • C++: zu Objekten verallgemeinerte Verbünde (Schlüsselwörter: struct, class) und Arrays
  • PASCAL: Verbünde (Schlüsselwort: RECORD) und Arrays
  • JavaScript: Objekte (Konstruktor: {a: Wert1, b: Wert2, ...}) und Arrays (Konstruktor: [a, b, c, ...])
  • etc.
• In einem zweiten Schritt können Mengen und auch Multimengen (das sind Container ohne Ordnung, in denen ein Element mehrfach enthalten sein kann) algorithmisch mit Hilfe der durch dies Sprache vorgegebenen Datenstrukturen definiert werden.

Eine Ausnahme bildet die Sprache SQL. Hier sind Tupel und Mengen (genauer: Multimengen) die zentralen Datenstrukturen zur Speicherung von Daten. In diesem Fall werden weder Mengen mit Hilfe von Tupeln noch Tupel mit Hilfe von Mengen nachgebildet.

Beispiele für mögliche Definitionen von Paaren

McCarthy 1960

Der Paar-Begriff kann vollkommen unabhängig von Mengen-/Klassenlehre zum Einsatz kommen. Interessant ist in diesem Zusammenhang die von John McCarthy entwickelte Programmiersprache LISP, in der sowohl die LISP-Anweisungen, als auch die LISP-Datenstrukturen nur mit Hilfe von so genannten LISP-Atomen (Zeichenketten, Zahlen etc.) und geordneten Paaren gebildet werden (vgl. Typentheorie).

In LISP werden geordnete Paare in der Form $(a \cdot b)$ bzw. (a . b) (ASCII-Schreibweise) notiert und mit der Funktion cons erzeugt. Die Operatoren $\pi_1$ und $\pi_2$ zur Extraktion der Elemente heißen bei McCarthy car und cdr. Listen werden in LISP als Abkürzung für cons-Ketten definiert (siehe Tupel).

Frege 1893

Wir definiren nun das Paar so:

$\Vdash\acute{\epsilon}(o \frown (a \frown \epsilon)) = o \;;\; a$

Das Semikolon ist hierbei zweiseitiges Functionszeichen.

Anmerkung

Frege definiert ($\Vdash$ ist der „Definitionsdoppelstrich“, §27) das Paar $o \;;\; a$ mit Hilfe des von ihm eingeführten „Werthverlauf“-Operator $\acute{\cdot}$ (§9) und den von ihm eingeführten „Functionen erster Stufe“ $\frown$ (§34).

Er beweist mehrere Paar-Eigenschaften, die im Anhang „Tafel der wichtigeren Lehrsätze“ noch einmal zusammengefasst werden. Die wichtigsten dieser Sätze sind (in moderner Notation):

$\vdash a = i \;\rightarrow\; (o = e \;\rightarrow\; o \;;\; a = e \;;\; i)\quad$ (§155, Satz Nr. 251)

Wenn ein Gegenstand mit einem zweiten und ein dritter Gegenstand mit einem vierten zusammenfällt, so fällt das aus dem ersten und dritten bestehende Paar zusammen mit dem aus dem zweiten und vierten bestehenden.

$\vdash m \;;\; x = c \;;\; d \;\rightarrow\; x = d\quad$ (§49, Satz Nr. 219)

Wenn ein Paar mit einem zweiten zusammenfällt, so fällt das zweite Glied des ersten mit dem zweiten Gliede des zweiten zusammen.

$\vdash m \;;\; x = c \;;\; d \;\rightarrow\; m = c\quad$ (§49, Satz Nr. 220)

(ohne weitere Erörterungen von Frege)

Diese Eigenschaften zeigen, dass sein Paarbegriff das Paaraxiom erfüllt, welches explizit erst vier Jahre später von Giuseppe Peano formuliert wurde.

Dies ist die älteste mir bekannte Definition, die den Paar-Begriff auf zuvor definierte „Grundbegriffe“ zurückführt.

Mengenpaare

Seit es im Jahre 1914 Norbert Wiener und Felix Hausdorff gelang, den Paarbegriff auf den Mengenbegriff zurückzuführen, sind Mengenpaare aus der Mathematik nicht mehr wegzudenken:

Ein Paar $[a,b]$ heißt Mengenpaar, wenn $a$ und $b$ zwei Mengen sind.

Es gibt diverse Möglichkeiten Mengenpaare zu definieren. Im Folgenden werden vier dieser Möglichkeiten näher untersucht. Insbesondere werden jeweils die beiden Projektionsoperatoren angegeben. Gemäß Satz 3.2 („Aus der Existenz der Projektionsoperatoren folgt das Paaraxiom“) ist damit sichergestellt, dass das Paaraxiom erfüllt ist.

Hausdorff 1914

Felix Hausdorff unterscheidet das erste und das zweite Element eines Paares mit Hilfe zweier spezieller Mengen $\boldsymbol{1}$ und $\boldsymbol{2}$, die anderweitig nicht verwendet werden:

$[a,b] \,\,:=\,\, \{\{a,\boldsymbol{1}\},\{b,\boldsymbol{2}\}\}, \,\,\text{wobei}\,\, \{a,b\} \cap \{\boldsymbol{1},\boldsymbol{2}\} = \emptyset \,\wedge\, \boldsymbol{1} \not= \boldsymbol{2} $

$\begin{array}{rclr}

 \pi_1([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{x,\boldsymbol{1}\} \in [a,b]\} & = &  \bigcap\{a\} & = & a \\ 
 \pi_2([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{x,\boldsymbol{2}\} \in [a,b]\} & = &  \bigcap\{b\} & = & b
\end{array} 

$

Diese Definition hat eine gravierenden Nachteil. Um den Paarbegriff verwenden zu können, muss man für die Elemente, die in Paaren gespeichert werden sollen, voraussetzen, dass diese Elemente ungleich $\boldsymbol{1}$ und ungleich $\boldsymbol{2}$ sind. Derartige Fallunterscheidungen blähen die zugehörigen Beweise unnötig auf.

Wiener 1914

Norbert Wiener vermeidet den Nachteil der Hausdorff-Paare, indem er das erste und und das zweites Element eines Paares anhand der Mächtigkeit der zugehörigen Mengen unterscheidet: $a$ ist Element einer einelementigen Menge und $b$ ist Element einer zweielementigen Menge.

$[a,b] \,\,:=\,\, \{\{\{a\}\},\{\emptyset,\{b\}\}\} $

$\begin{array}{rclclcl}

 \pi_1([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{\{x\}\} \in [a,b]\}           & = &  \bigcap\{a\} & = & a \\ 
 \pi_2([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in [a,b]\} & = &  \bigcap\{b\} & = & b
\end{array} 

$

Die Definition von Wiener sorgt dafür, dass die Menge $\{\emptyset,\{b\}\}$ auch im Falle $b = \emptyset$ zweielementig ist. Für $\{\emptyset,b\}$ wäre dies dagegen nicht der Fall.

Kuratowski 1921

Kazimierez Kuratowski geht einen vollkommen anderen Weg als Wiener und Hausdorff. Er kombiniert die beiden Paarelemente $a$ und $b$ so in einer Menge, dass diese Elemente mit Hilfe von einfachen Mengenoperatoren ($\cup$, $\cap$, $\setminus$) wiedergewonnen werden können.

$[a,b] \,\,:=\,\, \{\{a\},\{a,b\}\} $

$\begin{array}{rclclcl}

 \pi_1([a,b]) & := & \bigcap\bigcap [a,b] \\
              & =  & \bigcap\bigcap\{\{a\},\{a,b\}\}  \\
              & =  & \bigcap(\{a\} \cap\{a,b\}) \\
              & =  & \bigcap\{a\} \\
              & =  & a \\ 
 \pi_2([a,b]) & := & \bigcap(\bigcup [a,b] \,\setminus\, \bigcap[a,b]) \\
              & =  & \bigcap(\bigcup\{\{a\},\{a,b\}\} \setminus\, \bigcap\{\{a\},\{a,b\}\})  \\
              & =  & \bigcap((\{a\} \cup \{a,b\}) \,\setminus\, (\{a\} \cap\{a,b\})) \\
              & =  & \bigcap(\{a,b\} \setminus \{a\}) \\
              & =  & \bigcap\{b\} \\
              & =  & b \\
\end{array} 

$

Tupel als Mengenpaare (Kowarschick 2014)

Wenn bereits der Tupelbegriff eingeführt wurde, kann man anschließend eine altenative Definition für geordnete Paare angeben:

$[a,b] := (a,b)$ wobei $(a,b)$ ein $2$-Tupel ist.

Diese Definition klingt wie ein „circulus vitiosus“ (unzulässiger Ringschluss), ist aber keiner. Der Tupelbegiff ist eine Verallgemeinerung des Paarbegriffs, der es ermöglicht, beliebig viele Elemente in einer geordneten Liste zusmmenzufassen. Tupel werden häufig mit Hilfe von Paaren definiert. Beispielsweise kann man Tupel – in Anlehnung an LISP – folgendermaßen definieren:

$():=\emptyset$

$(a):= [\emptyset,a]$

$(a,b) := [[\emptyset,a],b]$

$(a,b,c) := [[[\emptyset,a],b],c]$

etc.

Dabei kann $[.,.]$ ein beliebiger Paaroperator sein. Das so definierte Mengenpaar $(a,b)$ unterscheidet sich vom Mengenpaar $[a,b]$. Aber es erfüllt das Paaraxiom. Und dies ist die einzige Eigenschaft, auf die es beim Paarbegriff ankommt. Daher geht man bei der Formalisierung der Mathematik sinnvollerweise folgendermaßen vor:

1. Man wählt eine geeignete Definition für Paare der Art [a,b].
2. Man definiert $n$-Tupel (a_1,...,a_n) mit Hilfe dieser Paardefinition.
3. Man ignoriert ab nun den ursprünglichen Paaroperator $[.,.]$ und verwendet stattdessen den Paaroperator $(.,.)$ oder – allgemeiner – Tupeloperatoren $(.,\cdots,.)$, um weitere Grundbegriffe wie Kartesisches Produkt, Relation, Funktion etc. zu definieren.

Klassenpaare

Wenn Paare nicht nur Mengen, sondern auch Unmengen enthalten können, spricht man von Klassenpaaren. Die Definitionen von Wiener, Hausdorff und Kuratowski sind für Klassenpaare allerdings ungeeignet. Unmengen können – gemäß ihrer Definition – nicht Elemente von irgendwelchen Mengen sein. Doch die obigen Mengenpaar-Definitionen basieren alle darauf, dass die Paarelemente $a$ und $b$ Elemente von ein- und/oder zweielementigen Mengen sind.

In einem mengebasiertes Axiomen-System (wie es z.B. der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zu Grunde liegt) ist das Paaraxiom

$\forall a, b: [a,b] = [b,a] \leftrightarrow a = b$

für Mengenpaare uneingeschränkt gültig, da in diesem Fall $\forall$ als „Für alle Mengen innerhalb des Mengenuniversums“ interpretiert wird. In einem klassenbasierten Axiomen-System (wie es z.B. der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre zu Grunde liegt) wir $\forall$ jedoch als „Für alle Klassen, d.h. für alle Mengen und Unmengen innerhalb des Klassenuniversums“ interpretiert. Für die bislang definierten Mengenpaare gilt in deratigen Systemen lediglich:

$\forall a, b: \rm{Mg}(a) \wedge \rm{Mg}(b) \rightarrow ([a,b] = [b,a] \leftrightarrow a = b)$

Der Grund ist: Für Unmengen ist, da eine Unmenge nicht Element einer Menge sein kann, ein Mengenpaar stets gleich der Allklasse $\mathcal{V}$ unabhängig von der Reihenfolge der Elemente. Es gilt: $\forall u: \rm{UMg}(u) \rightarrow \{u\} = \mathcal{V}$ (siehe Definition von $n$-elementigen Mengen)

Und damit gilt erst recht:

$\forall \rm{UMg}(a), \rm{UMg}(b): \{\{a,\boldsymbol{1}\},\{b,\boldsymbol{2}\}\} = \{\{b,\boldsymbol{1}\},\{a,\boldsymbol{2}\}\} = \mathcal{V}$

$\forall \rm{UMg}(a), \rm{UMg}(b): \{\{\{a\}\},\{\emptyset,\{b\}\}\} = \{\{\{b\}\},\{\emptyset,\{a\}\}\} = \mathcal{V}$

$\forall \rm{UMg}(a), \rm{UMg}(b): \{a,\{a,b\}\} = \{b,\{b,a\}\} = \mathcal{V}$

Auch wenn $\{u\}$ für Unmengen anders definiert werden sollte (wie z.B. $\{u\} = \emptyset$; siehe Alternative Definition einer einelementigen Menge), wäre nichts gewonnen. Da sich Klassen, die Unmengen als Elemente enthalten, für verschiedene Unmengen nicht voneinander unterscheiden, unterscheiden sich auch die entsprechenden Mengenpaar-Definitionen nicht.

Alternativ kann man versuchen, die Elemente der Paarelemente $a$ und $b$ – die unabhängig davon, ob $a$ und $b$ Mengen oder Unmengen sind, stets Mengen sind – so zu Mengen zusammenzufassen, dass das Paaraxiom erfüllt ist.

Schmidt 1966

Jürgen Schmidt greift „in Anlehnung an Quine“ die Idee von Wiener auf. Er unterscheidet die beiden Paarelemente $a$ und $b$ anhand von ein- und zweielementigen Mengen. Allerdings achtet er darauf, dass $a$ und $b$ nur rechts vom Elementzeichen $\in$ vorkommen, da Unmengen zwar Elemente enthalten, aber selbst keine Elemente sein können. Schmidt „verpackt“ daher nicht $a$ und $b$ in ein- bzw. zweielementige Mengen, sondern deren Elemente.

$\begin{array}{rclclcl}

 [a,b] & = & \{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\mathcal P(\{x\}): x \in b\,\} 
       & = & \{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\} 
\end{array} 

$

$\begin{array}{rclclcl}

 \pi_1([a,b]) & := & \{x: \{\{x\}\} \in [a,b]\} \\
              & =  & \{x: \{\{x\}\} \in (\{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\})\,\} \\
              & =  & \{x: \{\{x\}\} \in \{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\}\\
              & =  & \{x: x \in a\} \\
              & =  & a \\ 
 \pi_2([a,b]) & := & \{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in [a,b]\} \\
              & =  & \{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in (\{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\})\;\} \\
              & =  & \{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\}\,\} \\
              & =  & \{x: x \in b\}  \\
              & =  & b \\
\end{array} 

$

Für Schmidt-Paare gilt das Paaraxiom uneingeschränkt, da die Projektionsoperatoren sowohl für Mengen als auch für Unmengen das korrekte Ergebnis liefern.

Tupel als Klassenpaare (Kowarschick 2014)

Klassenpaare können ebenso wie Mengenpaare zu Tupeln verallgemeinert werden. Und wenn man dies geschickt macht, z.B. auf die von McCarthy für LISP vorgeschlagene Methode, erhält man dabei Tupel, die auch Unmengen als Elemente enthalten können. In diesem Fall können und sollten, wie zuvor bereits bei den Mengenpaaren ausführlich besprochen wurde, 2-Tupel ebenfalls als (Klassen-)Paare eingesetzt werden.

Siehe auch

• Projektion
• Reconsidering Ordered Pairs, Dana Scott und Dominic McCarty