Geordnetes Paar

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Definition (Peano (1897))

$(x,y)$ indique le couple formé des objects $x$ et $y$.

$(x,y) = (a,b) \;\;.\,=\;.\;\; x=a \;.\; y=b$

Übersetzung und moderne Formelschreibweise (Kowarschick)

$(x,y)$ bezeichnet das Paar, welches aus den Objekten $x$ und $y$ gebildet wird.

$(x,y) = (a,b) \;\leftrightarrow\; x=a \wedge y=b$

Anmerkung

Peano hat hier erstmals das sogenannte „Paaraxiom“ explizit formuliert. Das Paaraxiom garantiert, dass jedes Paar „geordnet“ ist, dass also stets entschieden werden kann, welches das erste und welches das zweite Element eines Paares ist.

Definition (Dipert (1982))

An ordered pair is, roughly speaking, (a) an entity which contains two other entities and (b) is such that one of these two entities is identifiable as the 'first', the other as the 'second'. More precisely, the individuating criterion for ordered pairs is: two ordered pairs are identical just when their respective elements' are identical. That is, if $< A, B >$ and $< C,D >$ are ordered pairs with elements $A$, $B$, $C$, and $D$, then we wish to have:

$< A,B > \;=\; < C, D>$ if and only if $A = C$ and $B = D$.

Anmerkung (von Dipert)

No other property of ordered pairs has ever been shown to be necessary or desirable. This single property is sufficient.

Definition (Brockhaus (1991))

Paar ... Mathematik: eine Menge, die aus zwei Elementen (der ersten und der zweiten Komponente) besteht, die zusätzlich in einer Ordnung stehen: $(a,b)$ ist i.a. verschieden von $(b,a)$.

Definition (Kowarschick (2014))

Der Term $[a,b]$ heißt geordnetes Paar, wenn für den Operator $[\cdot,\cdot]$ das Paaraxiom erfüllt ist:

$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $

(Zwei Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.)

Projektionsoperatoren

Für geordnete Paare kann man – wegen des Paaraxioms – zwei Projektionsoperatoren $\pi_1$ und $\pi_2$ definieren, die das erste bzw. das zweite Element des Paars extrahieren:

$\bigwedge a,b: \pi_1([a,b]) = a\quad$ (das erste Element des jeweiligen Paars)

$\bigwedge a,b: \pi_2([a,b]) = b\quad$ (das zweite Element des jeweiligen Paars)

Eigenschaften von geordneten Paaren

Bei Paarmengen beispielsweise spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle:

$\bigwedge a,b: \{a,b\} = \{b,a\}$

Im Gegensatz dazu sind geordnete Paare – wegen des Paaraxioms – tatsächlich geordnet:

$\bigwedge a,b: [a,b] = [b,a] \Leftrightarrow a = b \wedge b=a \Leftrightarrow a = b$

Existenz und Eindeutigkeit der Projektionsoperatoren

Wenn das Paaraxiom erfüllt ist, gibt es genau einen Operator $\pi_1$ und genau einen Operator $\pi_2$, die die unter 4.1 definierten Eigenschaften haben.

Anmerkung

Insbesondere gilt damit für jedes Paar $p$ die Beziehung $p = [\pi_1(p),\pi_2(p)]$.

Aus der Existenz zweier Projektionsoperatoren für geordnete Paare

Wenn zwei Projektionsfunktionen $\pi_1$ und $\pi_2$ existieren, die die unter 4.1 definierten Eigenschaften erfüllen, dann ist auch das Paaraxiom erfüllt.

Anmerkung

Dieser Satz ist die Umkehrung des vorangegangen Satzes. Außerdem folgt aus dem vorangegangen Satz sofort, dass die beiden Projektionsfunktionen eindeutig sind, sofern sie überhaupt existieren.

Geschichte des Paarbegriffs

Der Paarbegriff findet sich bereits in der 1889 erschienene Arbeit „Arithmetices principia: nova methodo“ von Giuseppe Peano. Im Jahr 1897, kurz vor Drucklegung des Buches „Formulaire de Mathématiques“, in dem das Paaraxiom erstmals explizit formuliert wird, publiziert Peano laut Hubert Kennedy eine kleine Schrift mit Ergebnissen seiner Studien über die Herabsetzung der Zahl der Grundbegriffe auf ein Minimum.

Diese Publikation enthält sieben Festsetzungen. Eine davon steht als (x;y) für den Begriff eines geordneten Zahlenpaars, das sich aus x und y zusammensetzt. Peano bemerkt dazu: ‹Die Idee eines geordneten Zahlenpaars ist von grundsätzlicher Bedeutung. Wir wissen aber nicht, wie wir es durch die obenerwähnten Symbole ausdrücken sollen.›

Bereits im Jahr 1893 hatte Gottlob Frege geordnete Paare mit Hilfe der von ihm zuvor eingeführten „Werthverlauf“- und Element-Operatoren – also mit Hilfe anderer „Grundbegriffe“ – definiert und diejenigen Eigenschaften bewiesen, die das – vier Jahre später von Peano formulierte – Paaraxiom für den Paarbegriff fordert (siehe Abschnitt Frege (1893)). Wußing merkt in seiner „kurturhistorischen Zeitreise“ allerdings an, dass die Wirkung von Frege gering blieb, „auch wegen seiner Verwendung zahlreicher und ungewöhnlicher Symbole“.

1914 gelang es Felix Hausdorff und Norbert Wiener unabhängig voneinander, geordnete Paare durch Mengen auszudrücken (siehe Abschnitte Hausdorff (1914) und Wiener (1914)). Damit war es möglich, die Begriffe „Relation“ und „Funktion“ auf den Mengenbegriff zurückzuführen. Relationen sind Mengen (oder Klassen) von Paaren oder – allgemeiner – von Tupeln, die als Verallgemeinerung von Paaren aufgefasst werden können. Und Funktionen sind spezielle Relationen. Das heißt, man konnte von 1914 an auf spezielle Axiome für Relationen und Funktionen verzichten. Mit der Definition von Frege war dies beispielsweise noch nicht möglich, da sich sein Paarbegriff auf den von ihm zuvor definierten Funktionsbegriff abstützt.

Beispiele für mögliche Definitionen von Paaren

Frege (1893)

Wir definiren nun das Paar so:

$\Vdash\acute{\epsilon}(o \frown (a \frown \epsilon)) = o \;;\; a$

Das Semikolon ist hierbei zweiseitiges Functionszeichen.

Anmerkung

$\Vdash$ ist der „Definitionsdoppelstrich“ (Frege (1893), §27), der von Frege als Erweiterung des „Urtheilstrich“s $\vdash$ (Frege (1893), §5) eingeführt wurde. (Das Symbol $\vdash$ wird in der Logik heute noch als „Herleitungs“-/„Ableitungs“- bzw. „Inferenzoperator“ verwendet).

Frege definiert das Paar $o \;;\; a$ mit Hilfe des von ihm zuvor eingeführten „Werthverlauf“-Operators $\acute{\cdot}$ (Frege (1893), §9) und der von ihm zuvor eingeführten „Function $\xi \frown \zeta$ mit zwei Argumenten“ (Frege (1893), §34). Die Funktion $\frown$ entspricht dabei im Wesentlichen dem heute üblichen Element-Operator $\in$.

Richard Heck merkt zu dieser Definition an, dass sie extravagant sei und weder mengentheoretisch noch mit Hilfe der Prädikaten-Logik zweiter Ordnung konsistent nachgebildet werden kann:

Unfortunately, Frege's definition of ordered pairs is, as George Boolos once put it, extravagant and can not be consistently reconstructed, either in second-order logic or in set-theory.

Frege beweist mehrere Paar-Eigenschaften, die im Anhang „Tafel der wichtigeren Lehrsätze“ von Frege (1893) noch einmal zusammengefasst werden. Die wichtigsten dieser Sätze sind (in moderner Notation):

$\vdash a = i \;\rightarrow\; (o = e \;\rightarrow\; o \;;\; a = e \;;\; i)\quad$ (Frege (1893), §155, Satz Nr. 251)

Wenn ein Gegenstand mit einem zweiten und ein dritter Gegenstand mit einem vierten zusammenfällt, so fällt das aus dem ersten und dritten bestehende Paar zusammen mit dem aus dem zweiten und vierten bestehenden.

$\vdash m \;;\; x = c \;;\; d \;\rightarrow\; x = d\quad$ (Frege (1893), §49, Satz Nr. 219)

Wenn ein Paar mit einem zweiten zusammenfällt, so fällt das zweite Glied des ersten mit dem zweiten Gliede des zweiten zusammen.

$\vdash m \;;\; x = c \;;\; d \;\rightarrow\; m = c\quad$ (Frege (1893), §49, Satz Nr. 220)

(ohne weitere Erörterungen von Frege)

Diese Eigenschaften zeigen, dass sein Paarbegriff das Paaraxiom erfüllt, welches explizit erst vier Jahre später von Giuseppe Peano formuliert wurde.

Dies ist die älteste mir bekannte Definition, die den Paar-Begriff auf zuvor definierte „Grundbegriffe“ zurückführt.

Mengenpaare

Seit es im Jahre 1914 Norbert Wiener und Felix Hausdorff gelang, den Paarbegriff auf den Mengenbegriff zurückzuführen, sind Mengenpaare aus der Mathematik nicht mehr wegzudenken:

Ein Paar $[a,b]$ heißt Mengenpaar, wenn $a$ und $b$ zwei Mengen sind.

Es gibt diverse Möglichkeiten Mengenpaare zu definieren. Im Folgenden werden vier dieser Möglichkeiten näher untersucht. Insbesondere werden jeweils die beiden Projektionsoperatoren angegeben. Gemäß Satz 3.2 („Aus der Existenz der Projektionsoperatoren folgt das Paaraxiom“) ist damit sichergestellt, dass das Paaraxiom erfüllt ist.

Hausdorff (1914)

Felix Hausdorff unterscheidet das erste und das zweite Element eines Paares mit Hilfe zweier spezieller Mengen $\boldsymbol{1}$ und $\boldsymbol{2}$, die anderweitig nicht verwendet werden:

$[a,b] \,\,:=\,\, \{\{a,\boldsymbol{1}\},\{b,\boldsymbol{2}\}\}, \,\,\text{wobei}\,\, \{a,b\} \cap \{\boldsymbol{1},\boldsymbol{2}\} = \emptyset \,\wedge\, \boldsymbol{1} \not= \boldsymbol{2} $

$\begin{array}{rclr}

 \pi_1([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{x,\boldsymbol{1}\} \in [a,b]\} & = &  \bigcap\{a\} & = & a \\ 
 \pi_2([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{x,\boldsymbol{2}\} \in [a,b]\} & = &  \bigcap\{b\} & = & b
\end{array} 

$

Diese Definition hat eine gravierenden Nachteil. Um den Paarbegriff verwenden zu können, muss man für die Elemente, die in Paaren gespeichert werden sollen, voraussetzen, dass diese Elemente ungleich $\boldsymbol{1}$ und ungleich $\boldsymbol{2}$ sind. Derartige Fallunterscheidungen blähen die zugehörigen Beweise unnötig auf.

Wiener (1914)

Norbert Wiener vermeidet den Nachteil der Hausdorff-Paare, indem er das erste und und das zweites Element eines Paares anhand der Mächtigkeit der zugehörigen Mengen unterscheidet: $a$ ist Element einer einelementigen Menge und $b$ ist Element einer zweielementigen Menge.

$[a,b] \,\,:=\,\, \{\{\{a\}\},\{\emptyset,\{b\}\}\} $

$\begin{array}{rclclcl}

 \pi_1([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{\{x\}\} \in [a,b]\}           & = &  \bigcap\{a\} & = & a \\ 
 \pi_2([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in [a,b]\} & = &  \bigcap\{b\} & = & b
\end{array} 

$

Die Definition von Wiener sorgt dafür, dass die Menge $\{\emptyset,\{b\}\}$ auch im Falle $b = \emptyset$ zweielementig ist. Für $\{\emptyset,b\}$ wäre dies dagegen nicht der Fall.

Kuratowski (1921)

Kazimierez Kuratowski geht einen vollkommen anderen Weg als Wiener und Hausdorff. Er kombiniert die beiden Paarelemente $a$ und $b$ so in einer Menge, dass diese Elemente mit Hilfe von einfachen Mengenoperatoren ($\cup$, $\cap$, $\setminus$) wiedergewonnen werden können.

$[a,b] \,\,:=\,\, \{\{a\},\{a,b\}\} $

$\begin{array}{rclclcl}

 \pi_1([a,b]) & := & \bigcap\bigcap [a,b] \\
              & =  & \bigcap\bigcap\{\{a\},\{a,b\}\}  \\
              & =  & \bigcap(\{a\} \cap\{a,b\}) \\
              & =  & \bigcap\{a\} \\
              & =  & a \\ 
 \pi_2([a,b]) & := & \bigcap(\bigcup [a,b] \,\setminus\, \bigcap[a,b]) \\
              & =  & \bigcap(\bigcup\{\{a\},\{a,b\}\} \setminus\, \bigcap\{\{a\},\{a,b\}\})  \\
              & =  & \bigcap((\{a\} \cup \{a,b\}) \,\setminus\, (\{a\} \cap\{a,b\})) \\
              & =  & \bigcap(\{a,b\} \setminus \{a\}) \\
              & =  & \bigcap\{b\} \\
              & =  & b \\
\end{array} 

$

Klassenpaare

Wenn Paare nicht nur Mengen, sondern auch Unmengen enthalten können, spricht man von Klassenpaaren. Die Definitionen von Wiener, Hausdorff und Kuratowski sind für Klassenpaare allerdings ungeeignet. Unmengen können – gemäß ihrer Definition – nicht Elemente von irgendwelchen Mengen sein. Doch die obigen Mengenpaar-Definitionen basieren alle darauf, dass die Paarelemente $a$ und $b$ Elemente von ein- und/oder zweielementigen Mengen sind.

In einem mengebasiertes Axiomen-System (wie es z.B. der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zu Grunde liegt) ist das Paaraxiom

$\forall a, b: [a,b] = [b,a] \leftrightarrow a = b$

für Mengenpaare uneingeschränkt gültig, da in diesem Fall $\forall$ als „Für alle Mengen innerhalb des Mengenuniversums“ interpretiert wird. In einem klassenbasierten Axiomen-System (wie es z.B. der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre zu Grunde liegt) wir $\forall$ jedoch als „Für alle Klassen, d.h. für alle Mengen und Unmengen innerhalb des Klassenuniversums“ interpretiert. Für die bislang definierten Mengenpaare gilt in deratigen Systemen lediglich:

$\forall a, b: \rm{Mg}(a) \wedge \rm{Mg}(b) \rightarrow ([a,b] = [b,a] \leftrightarrow a = b)$

Der Grund ist: Für Unmengen ist, da eine Unmenge nicht Element einer Menge sein kann, ein Mengenpaar stets gleich der Allklasse $\mathcal{V}$ unabhängig von der Reihenfolge der Elemente. Es gilt: $\forall u: \rm{UMg}(u) \rightarrow \{u\} = \mathcal{V}$ (siehe Definition von $n$-elementigen Mengen)

Und damit gilt erst recht:

$\forall \rm{UMg}(a), \rm{UMg}(b): \{\{a,\boldsymbol{1}\},\{b,\boldsymbol{2}\}\} = \{\{b,\boldsymbol{1}\},\{a,\boldsymbol{2}\}\} = \mathcal{V}$

$\forall \rm{UMg}(a), \rm{UMg}(b): \{\{\{a\}\},\{\emptyset,\{b\}\}\} = \{\{\{b\}\},\{\emptyset,\{a\}\}\} = \mathcal{V}$

$\forall \rm{UMg}(a), \rm{UMg}(b): \{a,\{a,b\}\} = \{b,\{b,a\}\} = \mathcal{V}$

Auch wenn $\{u\}$ für Unmengen anders definiert werden sollte (wie z.B. $\{u\} = \emptyset$; siehe Alternative Definition einer einelementigen Menge), wäre nichts gewonnen. Da sich Klassen, die Unmengen als Elemente enthalten, für verschiedene Unmengen nicht voneinander unterscheiden, unterscheiden sich auch die entsprechenden Mengenpaar-Definitionen nicht.

Alternativ kann man versuchen, die Elemente der Paarelemente $a$ und $b$ – die unabhängig davon, ob $a$ und $b$ Mengen oder Unmengen sind, stets Mengen sind – so zu Mengen zusammenzufassen, dass das Paaraxiom erfüllt ist.

Schmidt (1966)

Jürgen Schmidt greift „in Anlehnung an Quine“ die Idee von Wiener auf. Er unterscheidet die beiden Paarelemente $a$ und $b$ anhand von ein- und zweielementigen Mengen. Allerdings achtet er darauf, dass $a$ und $b$ nur rechts vom Elementzeichen $\in$ vorkommen, da Unmengen zwar Elemente enthalten, aber selbst keine Elemente sein können. Schmidt „verpackt“ daher nicht $a$ und $b$ in ein- bzw. zweielementige Mengen, sondern deren Elemente.

$\begin{array}{rclclcl}

 [a,b] & = & \{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\mathcal P(\{x\}): x \in b\,\} 
       & = & \{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\} 
\end{array} 

$

$\begin{array}{rclclcl}

 \pi_1([a,b]) & := & \{x: \{\{x\}\} \in [a,b]\} \\
              & =  & \{x: \{\{x\}\} \in (\{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\})\,\} \\
              & =  & \{x: \{\{x\}\} \in \{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\}\\
              & =  & \{x: x \in a\} \\
              & =  & a \\ 
 \pi_2([a,b]) & := & \{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in [a,b]\} \\
              & =  & \{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in (\{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\})\;\} \\
              & =  & \{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\}\,\} \\
              & =  & \{x: x \in b\}  \\
              & =  & b \\
\end{array} 

$

Für Schmidt-Paare gilt das Paaraxiom uneingeschränkt, da die Projektionsoperatoren sowohl für Mengen als auch für Unmengen das korrekte Ergebnis liefern.

Unterschied zwischen Mathematik und Informatik

Sowohl in der Mathematik als auch in der Informatik ist es von zentraler Bedeutung, unterschiedliche Objekte in „Containern“ zusammenzufassen.

In der Mathematik wird i. Allg. folgender Weg gewählt:

• Als „Basis-Container“ werden Mengen oder Klassen benutzt. Wie diese erzeugt werden, wird axiomatisch festgelegt. In diesen Containern sind die Elemente ungeordnet und jeweils höchstens einmal enthalten.
• In einem zweiten Schritt werden geordnete Paare definiert.
• Auf Basis der geordneten Paar können in einem dritten Schritt Tupel definiert werden: In diesen Containern sind die Elemente geordnet und evtl. auch mehrfach enthalten.

In der Informatik wird dagegen i. Allg. der umgekehrte Weg gewählt:

• Als „Basis-Container“ werden geordnete Paare oder Tupel bzw. Arrays, die als Verallgemeinerung des Paar-Begriffs aufgefasst werden können, benutzt. Wie diese erzeugt werden können, wird algorithmisch festgelegt. In diesen Containern sind die Elemente geordnet und evtl. auch mehrfach enthalten. Beispiele für derartige Basis-Container sind:
  • LISP: geordnete Paare („CONS-Zellen“, siehe den nachfolgenden Abschnitt „McCarthy (1960)“) sowie aus CONS-Zellen gebildete Listen (siehe den Absatz „Ursprung und Varianten der Vektornotation“ im Dokument Tupel); Konstruktoren: (a . b), (CONS A B)
  • C: Verbünde (record, Tupel; Schlüsselwort: struct) und Arrays
  • C++: zu Objekten verallgemeinerte Verbünde (Schlüsselwörter: struct, class) und Arrays
  • PASCAL: Verbünde (Schlüsselwort: RECORD) und Arrays
  • JavaScript: Objekte (Konstruktor: {a: Wert1, b: Wert2, ...}) und Arrays (Konstruktor: [a, b, c, ...])
  • etc.
• In einem zweiten Schritt können Mengen und auch Multimengen (das sind Container ohne Ordnung, in denen ein Element mehrfach enthalten sein kann) algorithmisch mit Hilfe der durch dies Sprache vorgegebenen Datenstrukturen definiert werden.

Eine Ausnahme bildet die Sprache SQL. Hier sind Tupel und Mengen (genauer: Multimengen) die zentralen Datenstrukturen zur Speicherung von Daten. In diesem Fall werden weder Mengen mit Hilfe von Tupeln noch Tupel mit Hilfe von Mengen nachgebildet.

McCarthy (1960)

Der Paar-Begriff kann vollkommen unabhängig von Mengen-/Klassenlehre zum Einsatz kommen. Interessant ist in diesem Zusammenhang die von John McCarthy entwickelte Programmiersprache LISP, in der sowohl die LISP-Anweisungen, als auch die LISP-Datenstrukturen nur mit Hilfe von so genannten LISP-Atomen (Zeichenketten, Zahlen etc.) und geordneten Paaren gebildet werden (vgl. Typentheorie).

In LISP werden geordnete Paare in der Form $(a \cdot b)$ bzw. (a . b) (ASCII-Schreibweise) notiert und mit der Funktion cons erzeugt. Die Operatoren $\pi_1$ und $\pi_2$ zur Extraktion der Elemente heißen bei McCarthy car und cdr. Listen werden in LISP als Abkürzung für cons-Ketten definiert (siehe Tupel).

Tupel als Mengen- oder Klassenpaare (Kowarschick (2014))

Der Tupelbegiff ist eine Verallgemeinerung des Paarbegriffs, der es ermöglicht, beliebig viele Elemente in einer geordneten Liste zusmmenzufassen. Wenn bereits der Tupelbegriff eingeführt wurde, kann man anschließend eine altenative Definition für geordnete Paare angeben:

$[a,b] := (a,b)$ wobei $(a,b)$ ein $2$-Tupel ist.

Diese Definition klingt wie ein „circulus vitiosus“, da Tupel häufig mit Hilfe von Paaren definiert werden. Es liegt allerdings kein unzulässiger Ringschluss vor, da es für die Definition von Relationen, Funktionen etc. nur darauf ankommt, dass der gewählte Paaroperator das Paaraxiom erfüllt. Wie genau der Paaroperator definiert wurde, ist dabei ohne Belang.

Beispielsweise kann man $n$-Tupel – in Anlehnung an LISP – folgendermaßen definieren:

$0$-Tupel: $():=\emptyset$

$1$-Tupel: $(a):= [\emptyset,a]$

$2$-Tupel: $(a,b) := [[\emptyset,a],b]$

$3$-Tupel: $(a,b,c) := [[[\emptyset,a],b],c]$

etc.

Dabei kann $[\cdot,\cdot]$ ein beliebiger Paaroperator sein. Falls es sich um einen Klassenpaar-Operator handelt, sind die $n$-Tupel ebenfalls sowohl für Mengen als auch für Unnemgen definiert.

Insbesondere wird auf diese Weise ein neuer Paaroperator defniert: Der $2$-Tupel-Operator $(\cdot,\cdot)$. Er unterscheidet sich i.Allg. vom Paaroperator $[\cdot,\cdot]$, da $(a,b) = [[\emptyset,a],b] \not= [a,b]$ (zumindest sofern der Paar-Operator so definiert wurde, dass $[\emptyset,a] \not= a$; dies ist bei allen hier definieren Paar-Operatoren der Fall). Aber der $2$-Tupel-Operator erfüllt das Paaraxiom. Und dies ist – wie Dipert betont hat – die einzige Eigenschaft, auf die es beim Paarbegriff ankommt.

Daher geht man bei der Formalisierung der Mathematik sinnvollerweise folgendermaßen vor:

1. Man wählt eine geeignete Definition für Paare der Art [a,b].
2. Man definiert $n$-Tupel (a_1,...,a_n) mit Hilfe dieser Paardefinition.
3. Man ignoriert ab nun den ursprünglichen Paaroperator $[.,.]$ und verwendet stattdessen den Paaroperator $(.,.)$ oder – allgemeiner – Tupeloperatoren $(.,\cdots,.)$, um weitere Grundbegriffe wie Kartesisches Produkt, Relation, Funktion etc. zu definieren.

Siehe auch

• Projektion
• Reconsidering Ordered Pairs, Dana Scott und Dominic McCarty