Geordnetes Paar: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 5. Oktober 2014, 13:08 Uhr
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Definition (Peano (1897)[1])
$(x ; y)$ indica la coppia formata dagli oggetti $x$ ed $y$.
Questa coppia è considerata come un nuovo oggetto. [...]
L'idea di coppia è fondamentale, cioè noi non la sappiamo esprimere mediante i simboli precedenti. Però possiamo definire l'eguaglianza di due coppie:
[...]$\quad(x ; y) = (a ; b) \;\;.\,=\;.\;\; x=a \;.\; y=b \quad$ Def.
“ la coppia $(x ; y)$ dicesi eguale alla $(a ; b)$, quando i loro elementi sono ordinatamente eguali „.
Übersetzung und moderne Formelschreibweise (Kowarschick)
$(x,y)$ bezeichnet das Paar, das aus den Objekten $x$ und $y$ gebildet wird.
Dieses Paar wird als neues Objekt betrachtet. [...]
Die Idee eines geordneten Zahlenpaars ist von grundlegender Bedeutung. Wir wissen aber nicht, wie wir es durch die [im Aufsatz] zuvor erwähnten Symbole ausdrücken können. Aber wir können die Gleichheit von zwei Paaren definieren:
[...]$\quad(x,y) = (a,b) \;:\leftrightarrow\; x=a \wedge y=b$
Das Paar $(x,y)$ ist gleich $(a,b)$, wenn ihre Elemente gemäß ihrer Anordnung gleich sind.
Anmerkungen
Peano hat in seinem Aufsatz „Studii de Logica Matematica“[1] und kurz darauf in Band 2 seines Buchs „Formulaire de Mathématiques“[2] erstmals explizit das sogenannte „Paaraxiom“ formuliert. Das Paaraxiom garantiert, dass jedes Paar „geordnet“ ist, dass also stets entschieden werden kann, welches das erste und welches das zweite Element eines Paares ist.
Definition (Dipert (1982)[3])
An ordered pair is, roughly speaking, (a) an entity which contains two other entities and (b) is such that one of these two entities is identifiable as the 'first', the other as the 'second'. More precisely, the individuating criterion for ordered pairs is: two ordered pairs are identical just when their respective elements' are identical. That is, if $< A, B >$ and $< C,D >$ are ordered pairs with elements $A$, $B$, $C$, and $D$, then we wish to have:
Anmerkung (von Dipert)
No other property of ordered pairs has ever been shown to be necessary or desirable. This single property is sufficient.
Definition (Brockhaus (1991)[4])
Paar ... Mathematik: eine Menge, die aus zwei Elementen (der ersten und der zweiten Komponente) besteht, die zusätzlich in einer Ordnung stehen: $(a,b)$ ist i.a. verschieden von $(b,a)$.
Definition (Kowarschick (2014))
Der Term $[a,b]$ heißt geordnetes Paar, wenn für den Operator $[\cdot,\cdot]$ das Paaraxiom erfüllt ist:
Ein Paar $[a,b]$ heißt Mengenpaar, wenn $a$ und $b$ zwei Mengen sind.
Ein Paar $[a,b]$ heißt Klassenpaar, wenn $a$ und $b$ zwei Klassen, d.h. Mengen und/oder Unmengen sind.
Projektionsoperatoren
Für geordnete Paare kann man – wegen des Paaraxioms – zwei Projektionsoperatoren $\pi_1$ und $\pi_2$ definieren, die das erste bzw. das zweite Element des Paars extrahieren:
Eigenschaften von geordneten Paaren
Bei Paarmengen beispielsweise spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle:
Im Gegensatz dazu sind geordnete Paare – wegen des Paaraxioms – tatsächlich geordnet:
Existenz und Eindeutigkeit der Projektionsoperatoren
Wenn das Paaraxiom erfüllt ist, gibt es genau einen Operator $\pi_1$ und genau einen Operator $\pi_2$, die die unter 4.1 definierten Eigenschaften haben.
Anmerkung
Insbesondere gilt damit für jedes Paar $p$ die Beziehung $p = [\pi_1(p),\pi_2(p)]$.
Aus der Existenz zweier Projektionsoperatoren für geordnete Paare
Wenn zwei Projektionsfunktionen $\pi_1$ und $\pi_2$ existieren, die die unter 4.1 definierten Eigenschaften erfüllen, dann ist auch das Paaraxiom erfüllt.
Anmerkung
Dieser Satz ist die Umkehrung des vorangegangen Satzes. Außerdem folgt aus dem vorangegangen Satz sofort, dass die beiden Projektionsfunktionen eindeutig sind, sofern sie überhaupt existieren.
Geschichte des Paarbegriffs
Der Paarbegriff findet sich bereits in der 1889 erschienene Arbeit „Arithmetices principia: nova methodo“[5] von Giuseppe Peano.
Im Jahr 1893 hatte Gottlob Frege geordnete Paare mit Hilfe der von ihm zuvor eingeführten „Werthverlauf“- und Element-Operatoren – also mit Hilfe anderer „Grundbegriffe“ – definiert und diejenigen Eigenschaften bewiesen, die das – vier Jahre später von Peano formulierte – Paaraxiom für den Paarbegriff fordert (siehe Abschnitt Frege (1893)).[6] Wußing merkt in seiner „kurturhistorischen Zeitreise“ allerdings an, dass die Wirkung von Frege gering blieb, „auch wegen seiner Verwendung zahlreicher und ungewöhnlicher Symbole“.[7]
In zwei Veröffentlichungen von 1897 formuliert er erstmals das Paaraxiom.[1][2] Außerdem merkt er an, dass die Idee eines geordneten Zahlenpaars ist von grundsätzlicher Bedeutung sei, er aber nicht wisse, wie wir es durch die zur von ihm zuvor definierten Symbole ausdrücken könne.[1] Ihm war also bereits bewusst, dass es vorteilhaft, wäre, wenn man den Paarbegriff auf andere Grndbegriffe zurückführen könnte. (Im selben Aufsatz führte Peano übrigens kurz nach dem Paaraxiom auch noch den Existenzoperator $\exists$ als zweite bahnbrechende Neuerung ein.)
1914 gelang es Felix Hausdorff und Norbert Wiener unabhängig voneinander, erstmals geordnete (Mengen-)Paare durch Mengen auszudrücken (siehe Abschnitte Hausdorff (1914) und Wiener (1914)).[8][9][10] Damit war es möglich, die Begriffe „Relation“ und „Funktion“ auf den Mengenbegriff zurückzuführen. Relationen sind Mengen (oder Klassen) von Paaren oder – allgemeiner – von Tupeln, die als Verallgemeinerung von Paaren aufgefasst werden können. Und Funktionen sind spezielle Relationen. Das heißt, man konnte von 1914 an auf spezielle Axiome für Relationen und Funktionen verzichten. Mit der Definition von Frege war dies beispielsweise noch nicht möglich, da sich sein Paarbegriff auf den von ihm zuvor definierten Funktionsbegriff abstützt. Randall Dipert hält die „funktionsfähige“ Definition des Paarbegriffs innerhalb der Mengenlehre sogar für eine der „bedeutsamsten Entdeckungen“ des frühen 20. Jahrhunderts auf dem Gebiet der Mathematischen Logik:
One of the most significant discoveries of early twentieth century mathematical logic was a workable definition of 'ordered pair' totally within set theory. [...] A definition of 'ordered pair' held the key to the precise formulation of the notions of 'relation' and 'function' - both of which are probably indispensable for an understanding of the foundations of mathematics. The set-theoretic definition of 'ordered pair' thus turned out to be a key victory for logicism, providing one admits set theory is logic. The definition also was instrumental in achieving the appearance of ontological economy - since it seemed only sets were needed - although this feature was emphasized only later.[3]
Die wichtigsten Definitionen von Mengenpaaren
Im Folgenden werden die wichtigsten Definitionen von Mengenpaaren aufgeführt: die Definitionen von Frege, Hausdorff, Wiener und Kuratowski. Mit Ausnahme von der Definition von Frege, werden jeweils auch die beiden Projektionsoperatoren angegeben. Gemäß Satz 5.2 („Aus der Existenz der Projektionsoperatoren folgt das Paaraxiom“) ist damit sichergestellt, dass das Paaraxiom erfüllt ist.
Frege (1893)[6]
Wir definiren nun das Paar so:
Das Semikolon ist hierbei zweiseitiges Functionszeichen.
Anmerkung
$\Vdash$ ist der „Definitionsdoppelstrich“ (Frege (1893), §27), der von Frege als Erweiterung des „Urtheilstrich“s $\vdash$ (Frege (1893), §5) eingeführt wurde. (Das Symbol $\vdash$ wird in der Logik heute noch als „Herleitungs“-/„Ableitungs“- bzw. „Inferenzoperator“ verwendet).
Gottlob Frege definiert das Paar $o \;;\; a$ mit Hilfe des von ihm zuvor eingeführten „Werthverlauf“-Operators $\acute{\cdot}$ (Frege (1893), §9) und der von ihm zuvor eingeführten „Function $\xi \frown \zeta$ mit zwei Argumenten“ (Frege (1893), §34). Die Funktion $\frown$ entspricht dabei im Wesentlichen dem heute üblichen Element-Operator $\in$.[11]
Richard Heck merkt zu dieser Definition an, dass sie extravagant sei und weder mengentheoretisch noch mit Hilfe der Prädikatenlogik zweiter Ordnung konsistent nachgebildet werden kann:
Unfortunately, Frege's definition of ordered pairs is, as George Boolos once put it, extravagant and can not be consistently reconstructed, either in second-order logic or in set-theory.[12]
Frege beweist mehrere Paar-Eigenschaften, die im Anhang „Tafel der wichtigeren Lehrsätze“ von Frege (1893) noch einmal zusammengefasst werden. Die wichtigsten dieser Sätze sind (in moderner Notation):
- Wenn ein Gegenstand mit einem zweiten und ein dritter Gegenstand mit einem vierten zusammenfällt, so fällt das aus dem ersten und dritten bestehende Paar zusammen mit dem aus dem zweiten und vierten bestehenden.
- Wenn ein Paar mit einem zweiten zusammenfällt, so fällt das zweite Glied des ersten mit dem zweiten Gliede des zweiten zusammen.
- (ohne weitere Erörterungen von Frege)
Diese Eigenschaften zeigen, dass sein Paarbegriff das Paaraxiom erfüllt, welches explizit erst vier Jahre später von Giuseppe Peano formuliert wurde.[1]
Dies ist die älteste mir bekannte Definition, die den Paar-Begriff auf zuvor definierte „Grundbegriffe“ zurückführt.
Hausdorff (1914)[10]
Felix Hausdorff unterscheidet das erste und das zweite Element eines Paares mit Hilfe zweier spezieller Mengen $\boldsymbol{1}$ und $\boldsymbol{2}$, die anderweitig nicht verwendet werden:
\pi_1([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{x,\boldsymbol{1}\} \in [a,b]\} & = & \bigcap\{a\} & = & a \\
\pi_2([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{x,\boldsymbol{2}\} \in [a,b]\} & = & \bigcap\{b\} & = & b
\end{array}
$Diese Definition hat einen Nachteil. Um den Paarbegriff verwenden zu können, muss man für die Elemente, die in Paaren gespeichert werden sollen, gemäß der Definition von Hausdorff stets voraussetzen, dass diese Elemente ungleich $\boldsymbol{1}$ und ungleich $\boldsymbol{2}$ sind. Derartige Fallunterscheidungen blähen die zugehörigen Beweise unnötig auf.
Wiener (1914)[9]
Norbert Wiener vermeidet den Nachteil der Hausdorff-Paare, indem er das erste und und das zweites Element eines Paares anhand der Mächtigkeit der zugehörigen Mengen unterscheidet: $a$ ist Element einer einelementigen Menge und $b$ ist Element einer zweielementigen Menge.
\pi_1([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{\{x\}\} \in [a,b]\} & = & \bigcap\{a\} & = & a \\
\pi_2([a,b]) & := & \bigcap\{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in [a,b]\} & = & \bigcap\{b\} & = & b
\end{array}
$Die Definition von Wiener sorgt dafür, dass die Menge $\{\emptyset,\{b\}\}$ auch im Falle $b = \emptyset$ zweielementig ist. Für $\{\emptyset,b\}$ wäre dies dagegen nicht der Fall.
Kuratowski (1921)[13]
Kazimierez Kuratowski geht einen vollkommen anderen Weg als Wiener und Hausdorff. Er kombiniert die beiden Paarelemente $a$ und $b$ so in einer Menge, dass diese Elemente mit Hilfe von einfachen Mengenoperatoren ($\cup$, $\cap$, $\setminus$) wiedergewonnen werden können.
\pi_1([a,b]) & := & \bigcap\bigcap [a,b] \\
& = & \bigcap\bigcap\{\{a\},\{a,b\}\} \\
& = & \bigcap(\{a\} \cap\{a,b\}) \\
& = & \bigcap\{a\} \\
& = & a \\
\pi_2([a,b]) & := & \bigcap(\bigcup [a,b] \,\setminus\, \bigcap[a,b]) \\
& = & \bigcap(\bigcup\{\{a\},\{a,b\}\} \setminus\, \bigcap\{\{a\},\{a,b\}\}) \\
& = & \bigcap((\{a\} \cup \{a,b\}) \,\setminus\, (\{a\} \cap\{a,b\})) \\
& = & \bigcap(\{a,b\} \setminus \{a\}) \\
& = & \bigcap\{b\} \\
& = & b \\
\end{array}
$Die Weiterentwicklung des Paarbegriffs
Klassenpaare
Wenn Paare nicht nur Mengen, sondern auch Unmengen enthalten können, spricht man von Klassenpaaren. Die Definitionen von Wiener, Hausdorff und Kuratowski sind für Klassenpaare allerdings ungeeignet. Unmengen können – gemäß ihrer Definition – nicht Elemente von irgendwelchen Mengen sein. Doch die obigen Mengenpaar-Definitionen basieren alle darauf, dass die Paarelemente $a$ und $b$ Elemente von ein- und/oder zweielementigen Mengen sind.
In einem mengebasiertes Axiomen-System (wie es z.B. der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zu Grunde liegt) ist das Paaraxiom
für Mengenpaare uneingeschränkt gültig, da in diesem Fall $\forall$ als „Für alle Mengen innerhalb des Mengenuniversums“ interpretiert wird. In einem klassenbasierten Axiomen-System (wie es z.B. der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre zu Grunde liegt) wir $\forall$ jedoch als „Für alle Klassen, d.h. für alle Mengen und Unmengen innerhalb des Klassenuniversums“ interpretiert. Für die bislang definierten Mengenpaare gilt in deratigen Systemen lediglich:
Der Grund ist: Für Unmengen ist, da eine Unmenge nicht Element einer Menge sein kann, ein Mengenpaar stets gleich der Allklasse $\mathcal{V}$ unabhängig von der Reihenfolge der Elemente. Es gilt: $\forall u: \rm{UMg}(u) \rightarrow \{u\} = \mathcal{V}$ (siehe Definition von $n$-elementigen Mengen)
Und damit gilt erst recht:
Auch wenn $\{u\}$ für Unmengen anders definiert werden sollte (wie z.B. $\{u\} = \emptyset$; siehe Alternative Definition einer einelementigen Menge), wäre nichts gewonnen. Da sich Klassen, die Unmengen als Elemente enthalten, für verschiedene Unmengen nicht voneinander unterscheiden, unterscheiden sich auch die entsprechenden Mengenpaar-Definitionen nicht.
Alternativ kann man versuchen, die Elemente der Paarelemente $a$ und $b$ – die unabhängig davon, ob $a$ und $b$ Mengen oder Unmengen sind, stets Mengen sind – so zu Mengen zusammenzufassen, dass das Paaraxiom erfüllt ist.
Schmidt (1966)[8]
Jürgen Schmidt greift „in Anlehnung an Quine“ die Idee von Wiener auf. Er unterscheidet die beiden Paarelemente $a$ und $b$ anhand von ein- und zweielementigen Mengen. Allerdings achtet er darauf, dass $a$ und $b$ nur rechts vom Elementzeichen $\in$ vorkommen, da Unmengen zwar Elemente enthalten, aber selbst keine Elemente sein können. Schmidt „verpackt“ daher nicht $a$ und $b$ in ein- bzw. zweielementige Mengen, sondern deren Elemente.
[a,b] & = & \{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\mathcal P(\{x\}): x \in b\,\}
& = & \{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\}
\end{array}
$ \pi_1([a,b]) & := & \{x: \{\{x\}\} \in [a,b]\} \\
& = & \{x: \{\{x\}\} \in (\{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\})\,\} \\
& = & \{x: \{\{x\}\} \in \{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\}\\
& = & \{x: x \in a\} \\
& = & a \\
\pi_2([a,b]) & := & \{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in [a,b]\} \\
& = & \{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in (\{\,\{\{x\}\}: x \in a\,\} \,\cup\, \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\})\;\} \\
& = & \{x: \{\emptyset,\{x\}\} \in \{\,\{\emptyset, \{x\}\}: x \in b\,\}\,\} \\
& = & \{x: x \in b\} \\
& = & b \\
\end{array}
$Für Schmidt-Paare gilt das Paaraxiom uneingeschränkt, da die Projektionsoperatoren sowohl für Mengen als auch für Unmengen das korrekte Ergebnis liefern.
Paare und Tupel Informatik
Sowohl in der Mathematik als auch in der Informatik ist es von zentraler Bedeutung, unterschiedliche Objekte in „Containern“ zusammenzufassen.
In der Mathematik wird i. Allg. folgender Weg gewählt:
- Als „Basis-Container“ werden Mengen oder Klassen benutzt. Wie diese erzeugt werden, wird axiomatisch festgelegt. In diesen Containern sind die Elemente ungeordnet und jeweils höchstens einmal enthalten.
- In einem zweiten Schritt werden geordnete Paare definiert.
- Auf Basis der geordneten Paar können in einem dritten Schritt Tupel definiert werden: In diesen Containern sind die Elemente geordnet und evtl. auch mehrfach enthalten.
In der Informatik wird dagegen i. Allg. der umgekehrte Weg gewählt:
- Als „Basis-Container“ werden geordnete Paare oder Tupel bzw. Arrays, die als Verallgemeinerung des Paar-Begriffs aufgefasst werden können, benutzt. Wie diese erzeugt werden können, wird algorithmisch festgelegt. In diesen Containern sind die Elemente geordnet und evtl. auch mehrfach enthalten. Beispiele für derartige Basis-Container sind:
- LISP: geordnete Paare („CONS-Zellen“, siehe den nachfolgenden Abschnitt „McCarthy (1960)“) sowie aus CONS-Zellen gebildete Listen (siehe den Absatz „Ursprung und Varianten der Vektornotation“ im Dokument Tupel); Konstruktoren:
(a . b),(CONS A B) - C: Verbünde (record, Tupel; Schlüsselwort:
struct) und Arrays - C++: zu Objekten verallgemeinerte Verbünde (Schlüsselwörter:
struct,class) und Arrays - PASCAL: Verbünde (Schlüsselwort:
RECORD) und Arrays - JavaScript: Objekte (Konstruktor:
{a: Wert1, b: Wert2, ...}) und Arrays (Konstruktor:[a, b, c, ...]) - etc.
- LISP: geordnete Paare („CONS-Zellen“, siehe den nachfolgenden Abschnitt „McCarthy (1960)“) sowie aus CONS-Zellen gebildete Listen (siehe den Absatz „Ursprung und Varianten der Vektornotation“ im Dokument Tupel); Konstruktoren:
- In einem zweiten Schritt können Mengen und auch Multimengen (das sind Container ohne Ordnung, in denen ein Element mehrfach enthalten sein kann) algorithmisch mit Hilfe der durch dies Sprache vorgegebenen Datenstrukturen definiert werden.
Eine Ausnahme bildet die Sprache SQL. Hier sind Tupel und Mengen (genauer: Multimengen) die zentralen Datenstrukturen zur Speicherung von Daten. In diesem Fall werden weder Mengen mit Hilfe von Tupeln noch Tupel mit Hilfe von Mengen nachgebildet.
McCarthy (1960)[14]
In LISP werden geordnete Paare in der Form $(a \cdot b)$ bzw. (a . b) (ASCII-Schreibweise)
notiert und mit der Funktion cons erzeugt.
Die Operatoren $\pi_1$ und $\pi_2$ zur Extraktion der Elemente heißen bei McCarthy car
und cdr.
Listen werden in LISP als Abkürzung für cons-Ketten definiert (siehe Tupel).
Tupel als Mengen- oder Klassenpaare (Kowarschick (1991)[15])
Der Tupelbegiff ist eine Verallgemeinerung des Paarbegriffs, der es ermöglicht, beliebig viele Elemente in einer geordneten Liste zusmmenzufassen. Wenn bereits der Tupelbegriff eingeführt wurde, kann man anschließend eine altenative Definition für geordnete Paare angeben:
Diese Definition klingt wie ein „circulus vitiosus“, da Tupel häufig mit Hilfe von Paaren definiert werden. Es liegt allerdings kein unzulässiger Ringschluss vor, da es für die Definition von Relationen, Funktionen etc. nur darauf ankommt, dass der gewählte Paaroperator das Paaraxiom erfüllt. Wie genau der Paaroperator definiert wurde, ist dabei ohne Belang.
Beispielsweise kann man $n$-Tupel – wie von John McCarthy für die Programmiersprache LISP vorgeschlagen[16] – folgendermaßen definieren:[15]
Dabei kann $[\cdot,\cdot]$ ein beliebiger Paaroperator sein. Falls es sich um einen Klassenpaar-Operator handelt, sind die $n$-Tupel ebenfalls sowohl für Mengen als auch für Unmengen definiert.
Insbesondere wird auf diese Weise ein neuer Paaroperator defniert: Der $2$-Tupel-Operator $(\cdot,\cdot)$. Er unterscheidet sich i.Allg. vom Paaroperator $[\cdot,\cdot]$, da $(a,b) = [a,[b,\emptyset]] \not= [a,b]$ (zumindest sofern der Paar-Operator so definiert wurde, dass $[b, \emptyset] \not= b$; dies ist bei allen hier definieren Paar-Operatoren der Fall). Aber der $2$-Tupel-Operator erfüllt das Paaraxiom. Und dies ist – wie Dipert betont hat[3] – die einzige Eigenschaft, auf die es beim Paarbegriff ankommt.
Daher geht man bei der Formalisierung der Mathematik sinnvollerweise folgendermaßen vor:
- Man wählt eine geeignete Definition für Paare der Art [a,b].
- Man definiert $n$-Tupel (a_1,...,a_n) mit Hilfe dieser Paardefinition.
- Man ignoriert ab nun den ursprünglichen Paaroperator $[.,.]$ und verwendet stattdessen den Paaroperator $(.,.)$ oder – allgemeiner – Tupeloperatoren $(.,\cdots,.)$, um weitere Grundbegriffe wie Kartesisches Produkt, Relation, Funktion etc. zu definieren.
Quellen
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Peano (1897a): Giuseppe Peano; Studii de Logica Matematica; Atti della Reale Accademia delle scienze di Torino; Reihe: Classe di Scienze Fisiche Matematiche e Naturali; Band: 32; Seite(n): 565-583; Verlag: Accademia delle Scienze di Torino; Adresse: Torino; Web-Link; 1897 (Sammelband), S. 580
- ↑ 2,0 2,1 Peano (1897b): Giuseppe Peano; Formulaire de Mathématiques; Band: 2; Verlag: Bocca frères und Ch. Clausen; Web-Link; 1897; Quellengüte: 5 (Buch), S. 6, Nr. 70 und Nr. 71
- ↑ 3,0 3,1 3,2 Dipert (1982): Randall R. Dipert; Set-Theoretical Representationsof Ordered Pairs and TheirAdequacy for the Logicof Relations; in: Canadian Journal of Philosophy; Band: XII; Nummer: 2; Seite(n): 353-374; Verlag: University of Calgary Press; Web-Link 0, Web-Link 1, Web-Link 2; 1945; Quellengüte: 5 (Artikel)
- ↑ Brockhaus (1991, NOS-PER): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 16, MAG-MOD; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1116-2; 1991; Quellengüte: 5 (Buch)
- ↑ Peano (1889): Giuseppe Peano; Arithmetices principia: nova methodo; Verlag: Fratres Bocca; Web-Link; 1889; Quellengüte: 5 (Buch), S. XII
- ↑ 6,0 6,1 Frege (1893): Gottlob Frege; Grundgesetze der Arithmetik; Band: I; Verlag: Verlag Hermann Pohle; Adresse: Jena; Web-Link 0, Web-Link 1, Web-Link 2, Web-Link 3; 1893; Quellengüte: 5 (Buch), §144
- ↑ Wußing (2009): Hans Wußing; 6000 Jahre Mathematik – Eine kulturgeschichtliche Zeitreise – Von Euler bis zur Gegenwart; Hrsg.: H.W. Alten, A. Djafari Naini und H. Wesenmüller-Kock; Band: Band 2; Auflage: 1; Verlag: Springer-Verlag GmbH; Adresse: Berlin; ISBN: 3642023630; 2009; Quellengüte: 5 (Buch), S. 402
- ↑ 8,0 8,1 Schmidt (1966): Jürgen Schmidt; Mengenlehre – Grundbegriffe; Reihe: B.I.Hochschultaschenbücher; Band: 1; Nummer: 56; Verlag: Bibliographisches Institut AG; Adresse: Mannheim; ISBN: B0000BUJC6; 1966; Quellengüte: 5 (Buch)
- ↑ 9,0 9,1 Wiener (1914): Norbert Wiener; A Simplification of the Logic of Relations; in: Proceedings of Cambridge Philosophical Society; Band: 17; Seite(n): 387-390; Web-Link; 1914; Quellengüte: 5 (Artikel)
- ↑ 10,0 10,1 Hausdorff (1914): Felix Hausdorff; Grundzüge der Mengenlehre; Verlag: Veit and Company; Adresse: Leipzig; Web-Link; 1914; Quellengüte: 5 (Buch), S. 32
- ↑ Zalta (2014): Edward N. Zalta; Frege's Theorem and Foundations for Arithmetic; Hrsg.: Edward N. Zalta; Reihe: The Stanford Encyclopedia of Philosophy; Band: 2014; Nummer: 4; Hochschule: Stanford University; http://plato.stanford.edu/entries/frege-theorem/index.html; Quellengüte: 5 (Web)
- ↑ Heck (1997): Richard G. Heck Jnr.; Definition by Induction in Frege's Grundgesetze der Arithmetik; in: Frege: Philosophy of Mathematics; Hrsg.: William Demopoulos; Verlag: Harvard University Press; Adresse: Cambridge; ISBN: 9780674319431; Web-Link 0, Web-Link 1; 1997; Quellengüte: 5 (Buchartikel)
- ↑ Kuratowski (1921): Kazimierez Kuratowski; Sur la notion de l‘ordere dans la Théorie des Ensembles; in: Fundamenta Mathematica; Band: 2; Nummer: 1; Seite(n): 161-171; Web-Link; 1921; Quellengüte: 5 (Artikel)
- ↑ , S. 11
- ↑ 15,0 15,1 Kowarschick (1991): Wolfgang L.J. Kowarschick; Semantische Optimierung rekursiver, insbesondere Δ-transformierter Logikprogramme; Organisation: Bayerisches Forschungszentrum für Wissensbasierte Systeme; Hochschule: Technische Universität München; Adresse: München; 1991; Quellengüte: 5 (Wissenschaftliche Arbeit), Anhang B, S. 255
- ↑ McCarthy (1960): John McCarthy; Recursive Functions of Symbolic Expressions and Their Computation by Machine, Part I; in: Communications of the ACM; Band: 3; Nummer: 4; Seite(n): 184-195; Verlag: Association for Computing Machinery; Adresse: New York; Web-Link 0, Web-Link 1; 1960; Quellengüte: 5 (Artikel)
Siehe auch
- Projektion
- Scott, McCarty (2008): Dana Scott und Dominic McCarty; Reconsidering Ordered Pairs; in: The Bulletin of Symbolic Logic; Band: 14; Nummer: 3; Seite(n): 150-153; Verlag: Association for Symbolic Logic; Web-Link; 2008; Quellengüte: 5 (Artikel)
